A geometria diferencial tem algo a ver com estatísticas?

Estou fazendo mestrado em estatística e sou aconselhado a aprender geometria diferencial. Eu ficaria mais feliz em ouvir sobre aplicações estatísticas para geometria diferencial, pois isso me deixaria motivado. Alguém conhece aplicações para geometria diferencial em estatística?

Dois livros canônicos sobre o assunto, com resenhas, depois duas outras referências:

• Geometria Diferencial e Estatística , MK Murray, JW Rice

  Desde a introdução, por Rao, em 1945, da métrica de informações de Fisher em uma família de distribuições de probabilidade, houve interesse entre estatísticos na aplicação de geometria diferencial a estatísticas. Esse interesse aumentou rapidamente nas últimas duas décadas com o trabalho de um grande número de pesquisadores. Até agora, um impedimento para a disseminação dessas idéias na comunidade mais ampla de estatísticos é a falta de um texto adequado que introduza a abordagem moderna e coordenada da geometria diferencial de maneira acessível aos estatísticos. Este livro tem como objetivo preencher essa lacuna. Os autores trazem para o livro extensa experiência de pesquisa em geometria diferencial e sua aplicação à estatística. O livro começa com o estudo das variedades diferenciais mais simples - espaços afins e sua relevância para as famílias exponenciais e passa para a teoria geral, a métrica de informações de Fisher, a conexão de Amari e os assintóticos. Ela culmina na teoria dos pacotes de vetores, pacotes de princípios e jatos e sua aplicação à teoria das cordas - um tópico atualmente na vanguarda da pesquisa em estatística e geometria diferencial.

• Métodos de Geometria da Informação , S.-I. H. Nagaoka Amari

  $\alpha$$\alpha$$(-\alpha)$A conexão, juntamente com a métrica, desempenha um papel essencial nessa geometria. Esse tipo de dualidade, emergindo de múltiplas distribuições de probabilidade, é onipresente, aparecendo em uma variedade de problemas que podem não ter relação explícita com a teoria da probabilidade. Através da dualidade, é possível analisar vários problemas fundamentais em uma perspectiva unificada. A primeira metade deste livro é dedicada a uma introdução abrangente aos fundamentos matemáticos da geometria da informação, incluindo as preliminares da geometria diferencial, a geometria dos distribuidores ou distribuições de probabilidade e a teoria geral das conexões afins duplas. A segunda metade do texto fornece uma visão geral de muitas áreas de aplicações, como estatística, sistemas lineares, teoria da informação, mecânica quântica, análise convexa, redes neurais, e geometria diferencial afim. O livro pode servir como um texto adequado para um curso de tópicos para alunos de graduação e pós-graduação avançados.

• Geometria diferencial em inferência estatística , S.-I. Amari, OE Barndorff-Nielsen, RE Kass, SL Lauritzen e CR Rao, notas da aula do IMS Monogr. Ser. Volume 10, 1987, 240 pp.

• O papel da geometria diferencial na teoria estatística , OE Barndorff-Nielsen, DR Cox e N. Reid, International Statistical Review / Revue Internationale de Statistique, vol. 54, n. 1 (abril de 1986), pp. 83-96

A geometria Riemanniana é usada no estudo de campos aleatórios (uma generalização de processos estocásticos), onde o processo não precisa ser estacionário. A referência que estou estudando é dada abaixo com duas revisões. Existem aplicações em oceanografia, astrofísica e imagens cerebrais.

Campos Aleatórios e Geometria , Adler, RJ, Taylor, Jonathan E.

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691

Avaliações:

$f$$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$$M$são variedades estratificadas riemannianas e sua abordagem é de natureza geométrica. O livro está dividido em três partes. A parte I é dedicada à apresentação das ferramentas necessárias dos processos e campos gaussianos. A Parte II expõe de forma concisa os pré-requisitos exigidos da geometria integral e diferencial. Finalmente, na parte III, o núcleo do livro, uma fórmula para a expectativa da função característica de Euler de um conjunto de excursões e sua aproximação à distribuição dos máximos do campo, é estabelecida com precisão. O livro é escrito em estilo informal, o que proporciona uma leitura muito agradável. Cada capítulo começa com uma apresentação dos assuntos a serem abordados, e as notas de rodapé, localizadas ao longo do texto, servem como um complemento indispensável e muitas vezes como referências históricas.

"Este livro apresenta a teoria moderna das probabilidades de excursões e a geometria dos conjuntos de excursões para ... campos aleatórios definidos em variedades. ... O livro é compreensível para os alunos ... com uma boa experiência em análise. ... A natureza interdisciplinar deste livro , a beleza e a profundidade da teoria matemática apresentada a tornam uma parte indispensável de toda biblioteca matemática e uma estante de livros de todos os probabilistas interessados ​​em processos gaussianos, campos aleatórios e suas aplicações estatísticas ". (Ilya S. Molchanov, Zentralblatt MATH, Vol. 1149, 2008)

Uma área da estatística / matemática aplicada em que a geometria diferencial é usada de maneira essencial (juntamente com muitas outras áreas da matemática!) É a teoria dos padrões . Você pode dar uma olhada no livro de Ulf Grenander: https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc?ie=UTF8 ou no texto um pouco mais acessível de David Mumford (um vencedor da medalha de campo): https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd_rd=i=156881579ZWDpDME = LIesY & psc = 1 & refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59

Do prefácio do último texto:

O termo "teoria dos padrões" foi cunhado por Ulf Grenander para distinguir sua abordagem da análise de estruturas padronizadas do mundo de "reconhecimento de padrões". Neste livro, usamos em um sentido bastante amplo para incluir os métodos estatísticos usados ​​na análise todos os “sinais” gerados pelo mundo, sejam imagens, sons, texto escrito, seqüências de DNA ou proteínas, trens de pico em neurônios ou séries temporais de preços ou clima; exemplos de tudo isso aparecem no livro de Hansen, Elements of Pattern Theory [94] ou no trabalho de nossos colegas, colaboradores e estudantes sobre teoria dos padrões.

Um exemplo em que a geometria diferencial é usada é para modelos de face.

Tentando responder à pergunta (nos comentários) de @whuber, veja o capítulo 16 do livro de Grenander, com o título "anatomia computacional". Existem variedades para representar várias partes da anatomia humana (como a lareira), e difeomorfismos são usados ​​para representar alterações dessas variedades anatômicas, permitindo a comparação, modelagem do crescimento, modelagem da ação de alguma doença. Essas idéias remontam ao monumental tratado de D'Arcy Thompson "sobre crescimento e forma" de 1917!

Grenander continua citando esse tratado:

Em uma parte muito grande da morfologia, nossa tarefa essencial reside na comparação de formas relacionadas, e não na definição precisa de cada uma; e a deformação de uma figura complicada pode ser um fenômeno de fácil compreensão, embora a própria figura possa ter que ser deixada não analisada e indefinida. Esse processo de comparação, de reconhecer de uma forma uma permutação ou deformação definitiva de outra, além de uma compreensão precisa e adequada do “tipo” ou padrão de comparação original, fica dentro da província imediata da matemática e encontra sua solução no uso elementar de um determinado método do matemático. Este método é o método de coordenadas, no qual se baseia a teoria das transformações.

O exemplo mais conhecido dessas idéias é quando alguma criança desapareceu, digamos, três anos atrás, e uma publica uma foto de seu rosto, transformada (geralmente usando splines), na aparência que ela pode ter hoje.