Probabilidade de desenhar uma bola preta em um conjunto de bolas preto e branco com condições de substituição mistas

Quando uma bola preta é sacada, ela não é substituída no conjunto, mas as bolas brancas são substituídas.

Eu pensei nisso, com as anotações:

• $b$ , o número inicial de bolas em preto e branco$w$
• $x_i = (b - i)/(b + w - i)$

A probabilidade de desenhar uma bola preta após n empates:$Pb(n)$

$$\eqalign{ Pb(0) &= x_0\\ Pb(1) &= (1-x_0)x_0 + x_0x_1\\ Pb(2) &= (1-x_0)^2x_0 + x_0x_1(1-x_0)+ x_0x_1(1-x_1) + x_0x_1x_2 \\ Pb(n) &= \sum\limits_{k=0}^{n-1} (\prod\limits_{i=0}^k x_i \prod\limits_{i<=k}^{n-k\ terms} 1-x_i) }$$

Essa soma parece infinita com n, mesmo que alguns termos sejam nulos, pois$x_{i \ge b}=0$

Excepto :$b=1$
$Pb(n) = (1-x_0)^nx_0$

Para :$b=2$
$Pb(n)= x_0(1-x_1)^n + x_0x_1\sum\limits_{i+j=n-1} (1-x_0)^i(1-x_1)^j$

Existe uma solução conhecida para esse problema?

Seja o número inicial de bolas brancas seja bolas pretas sejam . A pergunta descreve uma cadeia de Markov cujos estados são indexados pelo número possível de bolas pretas As probabilidades de transição sãob i ∈ { 0 , 1 , 2 , … , b } $w$$b$$i \in \{0, 1, 2, \ldots, b\}.$

$$p_w(i, i) = \frac{w}{w+i}, \quad p_w(i,i-1) = \frac{i}{w+i}.$$

O primeiro descreve desenhar uma bola branca, caso em que não muda, e o segundo descreve desenhar uma bola preta, caso em que é reduzido em .eu $i$$i$$1$

De agora em diante, vamos largar o subscrito explícito " ", considerando esse valor como fixo. Os valores próprios da matriz de transição são$w$$\mathbb{P}$

$$\mathbf{e} = \left(\frac{w}{w+b-i},\ i = 0, 1, \ldots, b\right)$$

correspondente à matriz dada por$\mathbb{Q}$

$$q_{ij} = (-1)^{i+j+b} (j+w) \binom{b}{j} w^{j-b} \binom{b-j}{i} (b-i+w)^{b-j-1}$$

cuja inversa é

$$(q^{-1})_{ij} = \frac{w^{b-i} \binom{j}{b-i} (b-j+w)^{i-b}}{\binom{b}{b-i}}.$$

Isso é,

$$\mathbb{P} = \mathbb{Q}\ \text{Diagonal}(\mathbf{e})\ \mathbb{Q}^{-1}.$$

Conseqüentemente, a distribuição após transições para fora do estado é dada pelo vetor de probabilidades$n$$b$

$$\mathbf{p}_n = (0,0,\ldots,0,1) \mathbb{P}^n = (0,0,\ldots,0,1)\mathbb{Q}\ \text{Diagonal}(\mathbf{e}^n)\ \mathbb{Q}^{-1}.$$

Ou seja, a chance existem bolas pretas restantes depois desenha é$i$$n$

$$p_{ni} = \sum_{j=0}^b q_{nj} e_j^n (q^{-1})_{ji}.$$

Por exemplo, começando com qualquer número de bolas brancas bolas pretas, a distribuição de probabilidade após empates é$b=2$$n \ge 1$

$$\eqalign{ \Pr(i=2) &= p_{n2} &= \frac{w^n}{(2+w)^n} \\ \Pr(i=1) &= p_{n1} &= \frac{2w^{n-1}}{(1+w)^{n-1}} - \frac{2 w^{n-1}(1+w)}{(2+w)^n} \\ \Pr(i=0) &= p_{n0} &= 1 - \frac{2 w^{n-1}}{(1+w)^{n-1}} + \frac{w^{n-1}}{(2+w)^{n-1}}. }$$

As curvas nesta figura acompanham as probabilidades dos estados (azul), (vermelho) (ouro) como uma função do número de empates quando ; isto é, a urna começa com duas bolas pretas e cinco brancas.$i=0$$i=1$$i=2$$n$$w=5$

O estado (ficando sem bolas pretas) é um estado absorvente : no limite em que cresce sem limite, a probabilidade desse estado se aproxima da unidade (mas nunca a atinge exatamente).$i=0$$n$