Informações de Fisher em um modelo hierárquico

Dado o seguinte modelo hierárquico, e que é uma distribuição normal. Existe uma maneira de obter uma expressão exata para as informações de Fisher da distribuição marginal de dada . Ou seja, qual é a informação de Fisher de: Posso obter uma expressão para a distribuição marginal de dada , mas diferenciar wrt tomar expectativas parece muito difícil. Estou perdendo algo óbvio? Qualquer ajuda seria apreciada.

X \sim N (μ, 1),

$X \sim {\mathcal N}(\mu,1),$

μ \sim L a p l a c e (0, c)

$\mu \sim {\rm Laplace}(0, c)$

N (\cdot, \cdot)

$\mathcal{N}(\cdot,\cdot)$

X

$X$

c

$c$

p (x | c) = \int p (x | μ) p (μ | c) d μ

$p(x | c) = \int p(x|\mu) p(\mu|c) d\mu$

X

$X$

c

$c$

c

$c$

multilevel-analysis information fisher-information

— emakalic
fonte

Eu mesmo tentei, mas está além das minhas habilidades. Funções de valor absoluto estragam tudo! Você está basicamente preso aos métodos numéricos.

— probabilityislogic

@probability Você pode obter uma expressão para o integrando simplesmente dividindo a integral em regiões

; nenhum valor absoluto é necessário. Mas o resultado é uma função racional confusa de

e funções de erro, e é improvável que seja integrável na forma fechada.

μ \geq 0

$\mu \ge 0$

μ < 0

$\mu \lt 0$

x

$x$

e x p (- x^{2})

$exp(-x^2)$

— whuber

@ Whuber - é isso que eu quis dizer com "sem esperança". Não que a integral seja impossível, mas a informação do fisher é impossível. Porque você tem que ter o valor esperado ao longo do

de um rácio de dois destes tipos de integrante

X

$X$

— probabilityislogic

Um limite inferior para as informações de Fisher nesse caso é

. É possível obter um limite superior mais apertado nas informações de Fisher do que o geral

1 / (1 + 2 c^{2})

$1/(1+2c^2)$

1 + 1 / c^{2}

$1 + 1/c^2$

— emakalic

Enquanto uma solução analítica seria um desafio em termos de tratabilidade humana (fora de uma disciplina matemática), existe receptividade a uma solução computacional aproximada? Pode-se fazer uma simulação estocástica e depois olhar para aproximações para o ajuste.

— EngrStudent - Restabelece Monica

Não há expressão analítica de forma fechada para as informações de Fisher para o modelo hierárquico fornecido. Na prática, as informações de Fisher só podem ser computadas analiticamente para distribuições familiares exponenciais. Para famílias exponenciais, a probabilidade de log é linear nas estatísticas suficientes e as estatísticas suficientes têm expectativas conhecidas. Para outras distribuições, a probabilidade de log não se simplifica dessa maneira. Nem a distribuição de Laplace nem o modelo hierárquico são distribuições familiares exponenciais; portanto, uma solução analítica será impossível.

— Gordon Smyth
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Os dois Normal e Laplace são da família exponencial. Se você pode escrever a distribuição na forma exponencial, a matriz de informações do fisher é o segundo gradiente do normalizador de log da família exponencial.

— A.Yazdiha
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\frac{1}{2} \exp (- | x - μ |)

$\frac12 \exp(-|x-\mu|)$