Método geral para derivar o erro padrão

Não consigo encontrar um método geral para derivar erros padrão em qualquer lugar. Eu olhei no google, neste site e até em livros de texto, mas tudo o que posso encontrar é a fórmula para erros padrão para a média, variação, proporção, razão de risco, etc ... e não como essas fórmulas foram obtidas.

Se alguém pudesse explicá-lo em termos simples ou até me vincular a um bom recurso que o explicasse, ficaria agradecido.

standard-error

— Daniel Gardiner
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Eu forneço um modelo simples geral e o aplico, com todos os detalhes elaborados, na publicação stats.stackexchange.com/a/18609/919 . Esta e muitas outras postagens sobre erros padrão (quase mil até o momento) podem ser encontradas pesquisando nosso site por "erro padrão"

— whuber

Respostas:

O que você deseja encontrar é o desvio padrão da distribuição amostral da média. Ou seja, em inglês simples, a distribuição amostral é quando você escolhe itens da sua população, os soma e divide a soma por . Em seguida, descobrimos a variação dessa quantidade e obtemos o desvio padrão tomando a raiz quadrada de sua variação. $n$ $n$

Portanto, permita que os itens escolhidos sejam representados pelas variáveis aleatórias , cada uma delas identicamente distribuída com a variação . Eles são amostrados independentemente, portanto a variação da soma é apenas a soma das variações. $X_i, 1\le i \le n$ $\sigma^2$

Var (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} Var (X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} σ^{2} = n σ^{2}

$\text{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n\text{Var}\left(X_i\right) = \sum_{i=1}^n\sigma^2 = n\sigma^2$

Em seguida, dividimos por . Em geral, sabemos que , então colocando temos $n$ $\text{Var}(kY)=k^2 \text{Var}(Y)$ $k=1/n$

Var (\frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}}{n}) = \frac{1}{n^{2}} Var (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \frac{1}{n^{2}} n σ^{2} = \frac{σ^{2}}{n}

$\text{Var}\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \text{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$

Finalmente, pegue a raiz quadrada para obter o desvio padrão . Quando o desvio padrão da população não está disponível, o desvio padrão da amostraé usado como uma estimativa, fornecendo $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ $s$ . $\dfrac{s}{\sqrt{n}}$

Todos os itens acima é verdadeiro independentemente da distribuição do s, mas levanta a questão do que você realmente quer fazer com o erro padrão? Normalmente, você pode querer construir intervalos de confiança e, em seguida, é importante atribuir uma probabilidade à construção de um intervalo de confiança que contenha a média. $X_i$

$X_i$

$p$ $n$ $X_i$ $p(1-p)$ $\sqrt{p(1-p)/n}$ $p$ $np$ $n(1-p)$ $\ge5$ aqui para um exemplo resolvido de erros padrão com uma proporção.)

$\pm1$

— TooTone
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Obrigado, essa abordagem faz sentido e posso ver como isso se aplica à média, mas não consigo estendê-la a outras estatísticas. Por exemplo, como eu encontraria o erro padrão de uma taxa? ou uma taxa de taxa?

— Daniel Gardiner

Eu atualizei minha postagem. O ponto principal é que quantidades como média, variância etc. - e, portanto, stderr - podem ser encontradas para qualquer distribuição. Mas para fazer declarações de probabilidade, você precisa saber algo sobre a distribuição, seja normal, binomial ou qualquer outra coisa. Portanto, o stderr sempre pode ser encontrado, mas sua utilidade depende da situação.

— precisa saber é o seguinte

v a r (X_{i}) = σ^{2}

$var(X_i) = \sigma^2$

s^{2}

$s^2$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

s^{2}

$s^2$

s^{2}

$s^2$

X_{i}

$X_i$

s^{2}

$s^2$

— TooTone

O erro padrão é o desvio padrão da estatística (sob a hipótese nula, se você estiver testando). Um método geral para encontrar erros padrão seria primeiro encontrar a função de distribuição ou geração de momentos de sua estatística, encontrar o segundo momento central e obter a raiz quadrada.

$\mu$ $\sigma^2$ $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ $\mu$ $\sigma^2/n$

A soma das variáveis aleatórias independentes é normal,
$\mathrm{E}\left[\sum_{i=1}^{n} a_i X_i\right] = \sum_{i=1}^{n} a_i \mathrm{E}\left[ X_i \right]$
$X_1$ $X_2$ $\mathrm{Var}\left(a_1 X_1 + a_2 X_2 \right) = a_1^2 \mathrm{Var}\left(X_1\right) + a_2^2 \mathrm{Var}\left( X_2 \right)$

$\sigma/\sqrt{n}$

Existem atalhos, como você não precisa necessariamente encontrar a distribuição da estatística, mas acho que, conceitualmente, é útil ter as distribuições no fundo da sua mente, se você as conhece.

— P Schnell
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