Exemplo de CLT quando momentos não existem

Considere $X_n = \begin{cases} 1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ -1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ 2^k & \text{w.p. } 2^{-k} \text{ for } k > n\\ \end{cases}$

Eu preciso mostrar que, mesmo que isso tenha momentos infinitos,

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n}) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\sqrt{n}(\bar{X}_n) \overset{d}{\to} N(0,1)$

Tentei mostrar isso usando o Teorema da Continuidade de Levy, ou seja, tentei mostrar que a função característica do lado esquerdo converge para a função característica do padrão normal. No entanto, isso parecia impossível de mostrar.

Uma dica fornecida para esse problema era truncar cada , ou seja, deixando e usando a condição Lindeberg para mostrar que . $X_i$ $Y_{ni} = X_i I\{X_i \leq n\}$ $\sqrt{n} \bar{Y}_n \overset{d}{\to} N(0,1)$

No entanto, não consegui demonstrar que a condição de Lyapunov está satisfeita. Isso ocorre principalmente porque não se comporta como eu gostaria. Eu gostaria que apenas os valores -1 e 1; no entanto, da maneira como é construído, ele pode assumir os valores $Y_{ni}$ $Y_{ni}$ $-1, 1, 2^{i+1}, 2^{i+2}, \dots, 2^{\lfloor\log_2 n\rfloor}$

— Greenparker
fonte

Se você estiver truncando em , verifique cuidadosamente o último parágrafo quanto aos valores que a variável truncada pode assumir. De qualquer forma, tente truncar em , use Borel-Cantelli e Slutsky para obter o resultado. Você deve poder usar Lindeberg ou Lyapunov na peça truncada (embora eu não tenha verificado isso).

n

$n$

1

$1$

— cardeal

Me desculpe por isso. Mudou para "infinitas" momentos

— Greenparker

@cardinal Examinei os possíveis valores que pode assumir novamente e adicionei um mínimo ao termo do log. Caso contrário, os valores parecem corretos. Se eu truncar em 1, obtenho os valores desejados para e poderei aplicar a condição de Lindeberg para obter convergência ao normal. No entanto, não vejo como isso implicará convergência ao normal para o

Y_{n i}

$Y_{ni}$

Y_{n i}

$Y_{ni}$

\sqrt{n} {\bar{X}}_{n}

$\sqrt{n} \bar{X}_n$

— Greenparker 9/14

O que é " "? Você não descreveu um contexto no qual existem amostras ou várias instâncias de cada , de onde - dado o que está indicado na pergunta - sobre a única leitura possível dessa notação é que ela se refere à média de , que é sempre infinito e é um número, não uma distribuição. Portanto, temos que imaginar que você está contemplando amostras de de , mas você precisa nos dizer isso e precisa estipular quais são os tamanhos das amostras.

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

— whuber

Aqui está uma resposta baseada no comentário do @ cardinal:

Seja o espaço de amostra o caminho dos processos estocásticos e , onde deixamos . A condição de Lindeberg (conforme a notação da Wikipedia ) é satisfeita, pois: para qualquer como sempre que $(X_i)_{i=0}^{\infty}$ $(Y_i)_{i=0}^{\infty}$ $Y_i=X_i \mathbb{1}_{\{X_i\leq 1\}}$

\frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} E (Y_{i}^{2} 1_{{| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}}}) \leq \frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} P (| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}) \to 0,

$\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n \mathbb E (Y_i^2 \mathbb{1}_{\{|Y_i|> \epsilon s_n^2\}})\leq \frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n P(|Y_i|> \epsilon s_n^2)\to0,$

ϵ

$\epsilon$

s_{n}^{2} \to \infty

$s_n^2\to \infty$

n \to \infty .

$n\to \infty.$

Temos também que por Borel-Cantelli desde modo que . Dito de forma diferente, e diferem apenas finitamente, quase com quase certeza. $P(X_i\neq Y_i, i.o.) = 0$ $P(X_i \neq Y_i)=2^{-i}$ $\sum_{i=0}^{\infty} P(X_i \neq Y_i) = 2<\infty$ $X_i$ $Y_i$

Defina e equivalentemente para . Escolha um caminho de amostra de modo que apenas para muitos finitos . Indexe esses termos por . Exija também desse caminho que sejam finitos. Para esse caminho, que . Além disso, para grandes o suficiente , $S_{X,n}=\sum_{i=0}^{n} X_i$ $S_{Y,n}$ $(X_i)_{i=1}^{\infty}$ $X_i > 1$ $i$ $\mathcal{J}$ $X_j,j\in \mathcal{J}$

\frac{S_{J}}{\sqrt{n}} \to 0, as n \to \infty

$\frac{S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}} \to 0,\text{ as }n\to \infty$

S_{J} := \sum_{j \in J} X_{j}

$S_{\mathcal{J}}:=\sum_{j\in \mathcal{J}}X_j$

n

$n$

S_{X, n} - S_{Y, n} = S_{J} .

$S_{X,n}-S_{Y,n}=S_{\mathcal{J}}.$

Usando o resultado de Borel-Cantelli junto com o fato de que é quase certamente finito, vemos que a probabilidade de um caminho de amostra obedecer aos nossos requisitos é uma. Em outras palavras, os termos diferentes chegam a zero quase certamente. Temos, portanto, pelo teorema de Slutsky, que, para números grandes o suficiente , onde . $X_i$ $n$

\frac{1}{\sqrt{n}} S_{X, n} = \frac{S_{Y, n} + S_{J}}{\sqrt{n}} \overset{d}{\to} ξ + 0,

$\frac{1}{\sqrt{n}}S_{X,n}=\frac{S_{Y,n}+S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\xi+0,$

ξ \sim N (0, 1)

$\xi\sim N(0,1)$

— ekvall
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