Qual é a probabilidade de que, entre 25 números aleatórios entre 1 e 100, o maior apareça mais de uma vez?

Em muitos jogos online, quando os jogadores concluem uma tarefa difícil, às vezes é dada uma recompensa especial que todos que concluíram a tarefa podem usar. geralmente é uma montaria (método de transporte) ou outro item de vaidade (itens que não melhoram o desempenho do personagem e são usados ​​principalmente para personalização da aparência).

Quando essa recompensa é dada, a maneira mais comum de determinar quem recebe a recompensa é através de números aleatórios. O jogo geralmente possui um comando especial que gera um número aleatório (provavelmente pseudo-aleatório, não aleatório criptografado) entre 1 e 100 (às vezes o jogador pode escolher outro spread, mas 100 é o mais comum). Cada jogador usa esse comando, todos os jogadores podem ver quem rolou o quê e o item é concedido à pessoa que rola mais alto. A maioria dos jogos possui um sistema interno, onde os jogadores apenas pressionam um botão e, quando todos pressionam o botão, o jogo faz o resto automaticamente.

Às vezes, alguns jogadores geram o mesmo número alto e ninguém os vence. isso geralmente é resolvido pelos jogadores que regeneram seus números, até que haja um número mais alto exclusivo.

Minha pergunta é a seguinte: Suponha um gerador de números aleatórios que possa gerar qualquer número entre 1 e 100 com a mesma probabilidade. Suponha que você tenha um grupo de 25 jogadores que geram 1 número com um gerador de números aleatórios (cada um com sua própria semente). Você terá 25 números entre 1 e 100, sem limitações sobre quantos jogadores rolam um número específico e nenhuma relação entre os números. Qual é a chance de o maior número gerado ser gerado por mais de um jogador? Em outras palavras, qual é a probabilidade de empate?

Deixei

• é o limite superior do seu intervalo, x = 100 no seu caso.$x$$x=100$
• seja o número total de empates, n = 25 no seu caso.$n$$n=25$

Para qualquer número , o número de sequências de n números com cada número na sequência ≤ y é y n . Destas seqüências, o número que contém noy s é ( y - 1 ) n e o número que contém um y é n ( y - 1 ) n - 1 . Portanto, o número de seqüências com dois ou mais y s é y n - ( y - 1 ) $y\le x$$n$$\le y$$y^n$$y$$(y-1)^n$$y$$n(y-1)^{n-1}$$y$ O número total de seqüências de n números com o número mais alto y contendo pelo menos dois y s é x ∑ y = 1 ( y n - ( y - 1 ) n - n ( y - 1 ) n - 1

$$y^n - (y-1)^n - n(y-1)^{n-1}$$ $n$$y$$y$ $$\begin{align} \sum_{y=1}^x \left(y^n - (y-1)^n - n(y-1)^{n-1}\right) &= \sum_{y=1}^x y^n - \sum_{y=1}^x(y-1)^n - \sum_{y=1}^xn(y-1)^{n-1}\\ &= x^n - n\sum_{y=1}^x(y-1)^{n-1}\\ &= x^n - n\sum_{y=1}^{x-1}y^{n-1}\\ \end{align}$$

$x^n$

$$\frac{x^n - n\sum_{y=1}^{y=x-1}y^{n-1}}{x^n}$$

$x=100,n=25$

$x,n$

import itertools
import numpy.random as np

def countinlist(x, n):
    count = 0
    total = 0
    for perm in itertools.product(range(1, x+1), repeat=n):
        total += 1
        if perm.count(max(perm)) > 1:
            count += 1

    print "Counting: x", x, "n", n, "total", total, "count", count

def simulate(x,n,N):
    count = 0
    for i in range(N):
        perm = np.randint(x, size=n)
        m = max(perm)
        if sum(perm==m) > 1:
            count += 1
    print "Simulation: x", x, "n", n, "total", N, "count", count, "prob", count/float(N)

x=100
n=25
N = 1000000 # number of trials in simulation

#countinlist(x,n) # only call this for reasonably small x and n!!!!
simulate(x,n,N)
formula = x**n - n*sum([i**(n-1) for i in range(x)])
print "Formula count", formula, "out of", x**n, "probability", float(formula) / x**n

Este programa gerou

Simulation: x 100 n 25 total 1000000 count 120071 prob 0.120071
Formula count 12000421245360277498241319178764675560017783666750 out of 100000000000000000000000000000000000000000000000000 probability 0.120004212454

Eu consideraria encontrar a probabilidade de ter um vencedor único primeiro

$x$$\frac{{25\choose1} (x-1)^{24}}{{100}^{25} }$$y-1$

O vencedor pode ganhar com seu número igual a 2 a 100, portanto a probabilidade total é

$$\begin{align} &\sum_{i=2}^{100} \frac {25(i-1)^{24}}{{100}^{25}}\\ =& 25\sum_{i=1}^{99} \frac{i^{24}}{{100}^{25}}\\ =& -{1 \over 4}+25\sum_{i=1}^{100} \frac{i^{24}}{{100}^{25}}\\\approx&-{1 \over 4}+25 {{1\over24+1}{100}^{24+1}+{{1\over2}{100}^{24}+{{{24\over2} {1\over6}}{100}^{23} }}\over{100}^{25}}\\ =&0.88 \end{align}$$

$100^{23}$

$1-0.88=0.12$

$p$$1-p$$p=1*(1-1/100)*(1-1/100)......*(1-1/10)=(1-1/100)^{24}$$P=1-p=1-(1-1/100)^{24} = 0.214$