Convergência na distribuição \ CLT

Dado que $N = n$ , a distr condicional. de $Y$ é $\chi ^2(2n)$ . $N$ tem distr marginal. de Poisson ( $\theta$ ), $\theta$ é uma constante positiva.

Mostre que, como $\theta \rightarrow \infty$ , $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$ na distribuição.

Alguém poderia sugerir estratégias para resolver isso. Parece que precisamos usar o CLT (Teorema do Limite Central), mas parece difícil obter qualquer informação sobre $Y$ por si só. Existe um rv que possa ser introduzido para obter uma amostra de, para gerar $Y$ ?

Isso é lição de casa, então dicas são bem- vindas.

— user42102
fonte

Parece uma coisa certa para mim também. Talvez já seja óbvio para você, mas como theta-> Infinito, o que acontece com N?

— PeterR

Eu deveria estar olhando para a distribuição de N? Se eu brincar com ele, parece que o pdf sempre será 0. O que posso deduzir disso?

— user42102

qual é a média de uma variável aleatória poisson (teta)?

— PeterR

Misturei o N nesta pergunta e o tamanho da amostra n na definição de CLT. Então

. Então, vemos que o valor esperado de N se aproxima do infinito. Não tenho certeza para onde ir daqui embora.

E (N) = θ

$E(N) = \theta$

— user42102

Você deve examinar a distribuição do qui ao quadrado não central. Provar que o limite é normal será mais complicado do que uma simples aplicação do CLT, eu temo.

— caburke

Respostas:

I fornecer uma solução com base em propriedades de funções características, que são definidos como se segue Sabemos que a distribuição é definida exclusivamente pela função característica, então vou provar que

ψ_{X} (t) = E \exp (Eu t X) .

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$

e a partir disso, segue a convergência desejada.

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V uma r (Y)}} \to ψ_{N (0 0, 1 1)} (t), quando θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$

Para isso, precisarei calcular a média e a variação de , para as quais uso a lei das expectativas / variações totais - http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation . $Y$

E Y = E {E (Y | N)} = E {2 N} = 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

Eu usei que a média e a variância da distribuição de Poisson são

e média e variância de

são

V uma r (Y) = E {V uma r (Y | N)} + V uma r {E (Y | N)} = E {4 N} + V uma r (2 N) = 4 θ + 4 V uma r (N) = 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

. Agora vem o cálculo com funções características. No primeiro I reescrever a definição de

como

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$

Y

$Y$

Y = \sum_{n = 1 1}^{\infty} Z_{2 n} {Eu}_{[N = n]}, Onde Z_{2 n} \sim χ_{2 n}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$ Agora uso teorema que estados

A função característica de

, que é retirado daqui:

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$ http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)

$Y$ $\exp(x)$

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n) = \sum_{n = 1 1}^{\infty} (1 1 - 2 Eu t)^{- n} \frac{θ^{n}}{n!} \exp (- θ) = \sum_{n = 1 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 1 - 2 Eu t)})}^{n} \frac{1 1}{n!} \exp (- θ) = \exp (\frac{θ}{1 1 - 2 Eu t}) \exp (- θ) = \exp (\frac{2 Eu t θ}{1 1 - 2 Eu t})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V uma r (Y)}} (t) = \exp (- Eu \frac{E Y}{\sqrt{V uma r Y}}) ψ_{Y} (t / \sqrt{V uma r Y}) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) \exp (- 1 1 + 2 Eu \frac{t}{\sqrt{8 θ}}) \to \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = ψ_{N (0 0, 1 1)} (t), quando θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$

— Fimba
fonte

Isso pode ser demonstrado através do relacionamento com a distribuição não centralizada em quisquared. Há um bom artigo da wikipedia sobre o qual vou referenciar livremente! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

$Y|N=n$ $2 n$ $n=0,1,\dots, \infty$ $N$ $\theta$

$Y$

f_{Y} (y; 0, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i}} (y)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$

k = 0

$k=0$

f_{Y} (y; k, θ) = \sum_{Eu = 0 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{Eu}}{Eu!} f_{{χ^{2}}_{2 Eu + k}} (y)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$

k

$k$

2 θ

$2\theta$

k \to 0

$k \rightarrow 0$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

N = 0

$N=0$ vai para zero, então a massa pontual em zero desaparece (a variável cinzelado com zero grau de liberdade deve ser interpretada como uma massa pontual em zero, portanto, não possui função de densidade).

$k$ $k$ $k$

— kjetil b halvorsen
fonte