Explicação intuitiva da contribuição para a soma de duas variáveis aleatórias normalmente distribuídas

Se eu tenho duas variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com médias e e desvios padrão e e descubro que , então (assumindo que não cometi nenhum erro) a distribuição condicional de e dado também são normalmente distribuídos com meios e desvio padrão $X$ $Y$ $\mu_X$ $\mu_Y$ $\sigma_X$ $\sigma_Y$ $X+Y=c$ $X$ $Y$ $c$

μ_{X | c} = μ_{X} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{X}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{X|c} = \mu_X + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_X^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

μ_{Y | c} = μ_{Y} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{Y|c} = \mu_Y + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

σ_{X | c} = σ_{Y | c} = \sqrt{\frac{σ_{X}^{2} σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}} .

$\sigma_{X|c} = \sigma_{Y|c} = \sqrt{ \frac{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}}.$

Não é de surpreender que os desvios padrão condicionais sejam os mesmos que, dado , se um sobe, o outro deve descer na mesma quantidade. É interessante que o desvio padrão condicional não dependa de . $c$ $c$

O que não consigo entender são os meios condicionais, nos quais eles compartilham o excesso $(c - \mu_X - \mu_Y)$ proporcional às variações originais, não aos desvios padrão originais.

Por exemplo, se elas tiverem médias zero, $\mu_X=\mu_Y=0$ e desvios padrão $\sigma_X =3$ e $\sigma_Y=1$ , condicionados em $c=4$ , teríamos $E[X|c=4]=3.6$ e $E[Y|c=4]=0.4$ , ou seja, na proporção $9:1$ , embora eu pensasse intuitivamente que a proporção $3:1$ seria mais natural. Alguém pode dar uma explicação intuitiva para isso?

Isso foi provocado por uma pergunta Math.SE

normal-distribution conditional-probability

— Henry
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A questão se reduz rapidamente ao caso observando e . $\mu_X = \mu_Y = 0$ $X-\mu_X$ $Y-\mu_Y$

Claramente, as distribuições condicionais são normais. Assim, a média, mediana e modo de cada um são coincidentes. Os modos ocorrerão nas coordenadas de um máximo local do PDF bivariado de e restrito à curva . Isso implica o contorno do PDF bivariado nesse local e a curva de restrição tem tangentes paralelas. (Esta é a teoria dos multiplicadores de Lagrange.) Como a equação de qualquer contorno é da forma para alguma constante (ou seja, todos os contornos são elipses), seus gradientes devem ser paralelos, de onde exista modo que $X$ $Y$ $g(x,y) = x+y = c$ $f(x,y) = x^2/(2\sigma_X^2) + y^2/(2\sigma_Y^2) = \rho$ $\rho$ $\lambda$

(\frac{x}{σ_{X}^{2}}, \frac{y}{σ_{Y}^{2}}) = \nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y) = λ (1, 1) .

$\left(\frac{x}{\sigma_X^2}, \frac{y}{\sigma_Y^2}\right) = \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) = \lambda(1,1).$

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Segue-se imediatamente que os modos das distribuições condicionais (e, portanto, também as médias) são determinados pela razão das variações, não dos DPs.

Essa análise também funciona para e correlacionados e se aplica a quaisquer restrições lineares, não apenas à soma. $X$ $Y$

— whuber
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Isso é muito impressionante e bastante mais completo do que eu estava pedindo. Eu ficaria satisfeito com o diagrama e uma afirmação de que a tangente à elipse não passa pelo centro da elipse, de modo que o ponto vermelho da tangente deve levar desproporcionalmente mais da variável aleatória com um desvio padrão mais alto.

— Henry

Isso não foi bem formulado. O que eu quis dizer foi que a linha do centro até o ponto vermelho não é perpendicular à tangente.

— Henry

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