Usando o BIC para estimar o número de k em KMEANS

No momento, estou tentando calcular o BIC para o meu conjunto de dados de brinquedos (ofc iris (:). Quero reproduzir os resultados conforme mostrado aqui (Fig. 5). Esse documento também é minha fonte para as fórmulas do BIC.

Eu tenho 2 problemas com isso:

• Notação:
  • $n_i$ = número de elementos no cluster$i$
  • $C_i$ = coordenadas centrais do cluster$i$
  • $x_j$ = pontos de dados atribuídos ao cluster$i$
  • $m$ = número de clusters

1) A variação conforme definida na Eq. 2):

Tanto quanto posso ver, é problemático e não está coberto que a variação possa ser negativa quando houver mais clusters $m$ que elementos no cluster. Isso está correto?

2) Simplesmente não consigo fazer meu código funcionar para calcular o BIC correto. Espero que não haja erro, mas seria muito apreciado se alguém pudesse verificar. A equação completa pode ser encontrada na Eq. (5) no jornal. Estou usando o scikit learn para tudo agora (para justificar a palavra-chave: P).

from sklearn import cluster
from scipy.spatial import distance
import sklearn.datasets
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def compute_bic(kmeans,X):
    """
    Computes the BIC metric for a given clusters

    Parameters:
    -----------------------------------------
    kmeans:  List of clustering object from scikit learn

    X     :  multidimension np array of data points

    Returns:
    -----------------------------------------
    BIC value
    """
    # assign centers and labels
    centers = [kmeans.cluster_centers_]
    labels  = kmeans.labels_
    #number of clusters
    m = kmeans.n_clusters
    # size of the clusters
    n = np.bincount(labels)
    #size of data set
    N, d = X.shape

    #compute variance for all clusters beforehand
    cl_var = [(1.0 / (n[i] - m)) * sum(distance.cdist(X[np.where(labels == i)], [centers[0][i]], 'euclidean')**2)  for i in xrange(m)]

    const_term = 0.5 * m * np.log10(N)

    BIC = np.sum([n[i] * np.log10(n[i]) -
           n[i] * np.log10(N) -
         ((n[i] * d) / 2) * np.log10(2*np.pi) -
          (n[i] / 2) * np.log10(cl_var[i]) -
         ((n[i] - m) / 2) for i in xrange(m)]) - const_term

    return(BIC)



# IRIS DATA
iris = sklearn.datasets.load_iris()
X = iris.data[:, :4]  # extract only the features
#Xs = StandardScaler().fit_transform(X)
Y = iris.target

ks = range(1,10)

# run 9 times kmeans and save each result in the KMeans object
KMeans = [cluster.KMeans(n_clusters = i, init="k-means++").fit(X) for i in ks]

# now run for each cluster the BIC computation
BIC = [compute_bic(kmeansi,X) for kmeansi in KMeans]

plt.plot(ks,BIC,'r-o')
plt.title("iris data  (cluster vs BIC)")
plt.xlabel("# clusters")
plt.ylabel("# BIC")

Meus resultados para o BIC são assim:

O que nem chega perto do que eu esperava e também não faz sentido ... Olhei para as equações agora há algum tempo e não estou mais conseguindo localizar meu erro):

Parece que você tem alguns erros em suas fórmulas, conforme determinado pela comparação com:

• https://www.cs.cmu.edu/~dpelleg/download/xmeans.pdf (existem alguns erros no documento)
• https://github.com/bobhancock/goxmeans/blob/master/km.go
• https://github.com/mynameisfiber/pyxmeans/blob/master/pyxmeans/xmeans.py
• https://github.com/bobhancock/goxmeans/blob/master/doc/BIC_notes.pdf

1

np.sum([n[i] * np.log(n[i]) -
               n[i] * np.log(N) -
             ((n[i] * d) / 2) * np.log(2*np.pi) -
              (n[i] / 2) * np.log(cl_var[i]) -
             ((n[i] - m) / 2) for i in range(m)]) - const_term

Aqui estão três erros no artigo: na quarta e na quinta linhas falta um fator de d, a última linha substitui m por 1. Deve ser:

np.sum([n[i] * np.log(n[i]) -
               n[i] * np.log(N) -
             ((n[i] * d) / 2) * np.log(2*np.pi*cl_var) -
             ((n[i] - 1) * d/ 2) for i in range(m)]) - const_term

2)

O const_term:

const_term = 0.5 * m * np.log(N)

deveria estar:

const_term = 0.5 * m * np.log(N) * (d+1)

3)

A fórmula de variação:

cl_var = [(1.0 / (n[i] - m)) * sum(distance.cdist(p[np.where(label_ == i)], [centers[0][i]], 'euclidean')**2)  for i in range(m)]

deve ser um escalar:

cl_var = (1.0 / (N - m) / d) * sum([sum(distance.cdist(p[np.where(labels == i)], [centers[0][i]], 'euclidean')**2) for i in range(m)])

4)

Use logs naturais, em vez dos logs base10.

5)

Finalmente, e mais importante, o BIC que você está computando tem um sinal inverso da definição regular. então você está procurando maximizar em vez de minimizar

Esta é basicamente a solução do eyaler, com algumas notas. Eu digitei se alguém quisesse copiar / colar rapidamente:

Notas:

1. eyalers 4o comentário está incorreto np.log já é um log natural, não é necessária nenhuma alteração

2. O quinto comentário de eyalers sobre inverso está correto. No código abaixo, você está procurando o MÁXIMO - lembre-se de que o exemplo tem números BIC negativos

O código é o seguinte (novamente, todo o crédito para o eyaler):

from sklearn import cluster
from scipy.spatial import distance
import sklearn.datasets
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import numpy as np

def compute_bic(kmeans,X):
    """
    Computes the BIC metric for a given clusters

    Parameters:
    -----------------------------------------
    kmeans:  List of clustering object from scikit learn

    X     :  multidimension np array of data points

    Returns:
    -----------------------------------------
    BIC value
    """
    # assign centers and labels
    centers = [kmeans.cluster_centers_]
    labels  = kmeans.labels_
    #number of clusters
    m = kmeans.n_clusters
    # size of the clusters
    n = np.bincount(labels)
    #size of data set
    N, d = X.shape

    #compute variance for all clusters beforehand
    cl_var = (1.0 / (N - m) / d) * sum([sum(distance.cdist(X[np.where(labels == i)], [centers[0][i]], 
             'euclidean')**2) for i in range(m)])

    const_term = 0.5 * m * np.log(N) * (d+1)

    BIC = np.sum([n[i] * np.log(n[i]) -
               n[i] * np.log(N) -
             ((n[i] * d) / 2) * np.log(2*np.pi*cl_var) -
             ((n[i] - 1) * d/ 2) for i in range(m)]) - const_term

    return(BIC)



# IRIS DATA
iris = sklearn.datasets.load_iris()
X = iris.data[:, :4]  # extract only the features
#Xs = StandardScaler().fit_transform(X)
Y = iris.target

ks = range(1,10)

# run 9 times kmeans and save each result in the KMeans object
KMeans = [cluster.KMeans(n_clusters = i, init="k-means++").fit(X) for i in ks]

# now run for each cluster the BIC computation
BIC = [compute_bic(kmeansi,X) for kmeansi in KMeans]

print BIC