Distribuição da convolução das variáveis normal ao quadrado e qui-quadrado?

o seguinte problema surgiu recentemente ao analisar dados. Se a variável aleatória X segue uma distribuição normal e Y segue uma (com n dof), como é distribuído ? Até agora, eu o pdf de : $\chi^2_n$ $Z = X^2 + Y^2$ $Y^2$

\begin{array}{rcl} ψ_{n}^{2} (x) & = & \frac{\partial F (\sqrt{x})}{\partial x} \\ = & {(\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{t^{n / 2 - 1} \cdot e^{- t / 2}}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} d t)}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} \cdot {(\sqrt{x})}^{n / 2 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \cdot {(\sqrt{x})}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2 - 1} Γ (n / 2)} \cdot x^{n / 4 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray}$

bem como algumas simplificações para a integral de convolução ( $X^2$ tem o pdf $\chi^2_m$ com m dof):

\begin{array}{rcl} K_{m n} (t) & := & (χ_{m}^{2} * ψ_{n}^{2}) (t) \\ = & \int_{0}^{t} χ_{m}^{2} (x) \cdot ψ_{n}^{2} (t - x) d x \\ = & {(2^{\frac{(n + m)}{2} + 1} Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2}))}^{- 1} \cdot \int_{0}^{t} (t - x)^{\frac{n}{4} - 1} \cdot x^{\frac{m}{2} - 1} \cdot \exp (- (\sqrt{t - x} + x) / 2) d x \end{array}

$\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m \ast \psi^2_n )(t) \\ &=& \int_0^t \chi^2_m(x) \cdot \psi^2_n(t-x) \mathrm{d}x \\ &=& \left( 2^{\frac{(n+m)}{2}+1} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) \right)^{-1} \cdot \int_0^t (t-x)^{\frac{n}{4}-1} \cdot x^{\frac{m}{2}-1} \cdot \exp(-(\sqrt{t-x}+x)/2) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$

Alguém vê uma boa maneira de calcular essa integral para qualquer valor real ou precisa ser computado numericamente? Ou estou perdendo uma solução muito mais simples?

— Leo Szilard
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Se o

Y

$Y$ não fosse quadrado, eu teria alguns conselhos específicos. Eu não acho que este seja tratável (nem necessariamente particularmente esclarecedor, mesmo que isso se mostre tratável). Eu ficaria tentado a olhar para abordagens computacionais, como convolução numérica ou simulação, dependendo exatamente do que você deseja fazer com o resultado.

— Glen_b -Reinstala Monica 23/03

É muito improvável, na minha opinião, que a integral possa ser feita.

— Dave31415

@ Dave31415 Para

n

$n$ e

m

$m$ par, a integral pode ser explicitamente calculada para valores integrais positivos de

n

$n$ e

m

$m$ . Será igual a uma combinação linear de exponenciais e funções de erro com coeficientes que são polinômios em

\sqrt{t}

$\sqrt{t}$ . A avaliação pode ser realizada através da substituição

x = t - u^{2}

$x=t-u^2$ . Por exemplo, com

n = 2, m = 4

$n=2,m=4$ , obtemos

\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{8} (2 \sqrt{t} + 1)^{2}} (e^{\frac{\sqrt{t}}{2}} (\sqrt{2 π} (4 t + 3) (erfi (\frac{2 \sqrt{t} - 1}{2 \sqrt{2}}) + erfi (\frac{1}{2 \sqrt{2}})) + 4 e^{\frac{1}{8}}) - 4 e^{\frac{t}{2} + \frac{1}{8}} (2 \sqrt{t} + 1))

$\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{8}(2\sqrt{t}+1)^2}(e^{\frac{\sqrt{t}}{2}}(\sqrt{2\pi} (4t+3)(\text{erfi}(\frac{2\sqrt{t}-1}{2\sqrt{2}})+\text{erfi}(\frac{1}{2\sqrt{2}}))+4e^\frac{1}{8})-4 e^{\frac{t}{2}+\frac{1}{8}}(2\sqrt{t}+1))$ .

— whuber

Agradável. Para números ímpares, você provavelmente poderia aproximar a média do resultado para limitar números pares? Ou talvez não.

— Dave31415

Obrigado por suas respostas! Para alguns casos, até mesmo-mesmo eu tenho um resultado semelhante envolvendo função de Dawson, mas parece que eu vou ter que fazer mais algum trabalho para uma solução geral ...

— Leo Szilard

Caso isso ajude, a variável é uma variável aleatória gama generalizada (veja, por exemplo, Stacy 1962). Sua pergunta está pedindo a distribuição da soma de uma variável aleatória qui-quadrado e uma variável aleatória gama generalizada. Que eu saiba, a densidade da variável resultante não tem expressão de forma fechada. Portanto, a convolução obtida é uma integral sem solução de forma fechada. Eu acho que você ficará preso com uma solução numérica para esta. $Y^2$

Stacy, EW (1962). Uma generalização da distribuição gama. Annals of Mathematics Statistics 33 (3) , pp. 1187-1192.

— Restabelecer Monica
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Esta é apenas uma dica. O tipo III de Pearson pode ser qui-quadrado. Às vezes, uma convolução pode ser encontrada, envolvendo algo consigo mesmo. Consegui fazer isso para convencer ND e GD , para os quais convolvi um Pearson III consigo mesmo. Como isso funciona com ND e Qui-quadrado, não tenho certeza. Mas você pediu dicas, e esta é uma dica geral. Isso deve ser o suficiente para você começar, espero. $^2$

— Carl
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Você poderia explicar como isso responde à pergunta? Não parece diretamente relacionado.

— whuber

A convolução do tipo III de Pearson consigo mesma pode ser feita. Por alguma razão, convolver uma coisa consigo mesma é mais fácil de resolver do que convolver uma coisa com outra. Por exemplo, resolvi a convolução de Pearson tipo III e obtive as convoluções de ND com GD, um problema relacionado.

— Carl

Não parece ter ajudado, será excluído em breve.

— Carl

Distribuição da convolução das variáveis ​​normal ao quadrado e qui-quadrado?

Distribuição da convolução das variáveis normal ao quadrado e qui-quadrado?