Como uma distribuição pode ter média e variação infinitas?

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Seria apreciado se os seguintes exemplos pudessem ser dados:

Uma distribuição com média infinita e variação infinita.
Uma distribuição com média infinita e variância finita.
Uma distribuição com média finita e variância infinita.
Uma distribuição com média finita e variância finita.

Isso acontece porque eu vejo esses termos desconhecidos (média infinita, variação infinita) usados em um artigo que estou lendo, pesquisando e lendo um tópico no fórum / site de Wilmott , e não encontrando uma explicação suficientemente clara. Também não encontrei explicações em nenhum dos meus livros.

distributions variance mean

— user1205901 - Restabelecer Monica
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11

o caso 2 da sua lista acima é impossível.

— b Kjetil Halvorsen

Relevante: stats.stackexchange.com/questions/94402/...

— b Kjetil Halvorsen

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Possível duplicata Qual é a diferença entre o finito e variância infinita

— b Kjetil Halvorsen

2

Ao pedir esses quatro exemplos específicos, acho que essa é uma pergunta distinta e não deve ser encerrada como duplicada - embora a outra pergunta seja certamente relevante e útil.

— quer

11

Dos 4 exemplos, apenas 1, 3 e 4 são realmente possíveis e exemplos fáceis podem ser dados para 1 e 4. Cauchy é um exemplo de 1 e o Gaussiano é um exemplo de 4. É impossível que a variação seja bem definida se o .mean não existir. Portanto, 2 não é possível. Um exemplo de 3 seria interessante de construir.

— Michael R. Chernick

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A média e a variância são definidas em termos de integrais. O que significa que a média ou variância é infinita é uma afirmação sobre o comportamento limitante dessas integrais

Por exemplo, a média é (considerando isso, digamos, como uma integral de Stieltjes); para uma densidade contínua isso seria (agora como uma integral de Riemann, digamos). $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$ $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

Isso pode acontecer, por exemplo, se a cauda for "pesada o suficiente". Considere os seguintes exemplos para quatro casos de média e variância finitas / infinitas:

Uma distribuição com média infinita e variação infinita.

Exemplos: distribuição de Pareto com , uma distribuição zeta (2). $\alpha= 1$
Uma distribuição com média infinita e variância finita.

Não é possivel.
Uma distribuição com média finita e variância infinita.

Exemplos: distribuição $t_2$ . Pareto com . $\alpha=\frac{3}{2}$
Uma distribuição com média finita e variância finita.

Exemplos: Qualquer normal. Qualquer uniforme (de fato, qualquer variável limitada tem todos os momentos). . $t_3$

Você também pode ter uma distribuição em que a integral é indefinida, mas não ultrapassa necessariamente todos os limites finitos no limite.

Essas notas de Charles Geyer falam sobre como calcular integrais relevantes em termos simples. Parece que ele está lidando com integrais de Riemann, que cobrem apenas o caso contínuo, mas definições mais gerais de integral (Stieltjes, por exemplo) abrangerão todos os casos que você provavelmente precisará [integração Lebesgue é a forma de integração usada na teoria das medidas (subjacente à probabilidade), mas o ponto aqui funciona bem com métodos mais básicos]. Também abrange (Sec 2.5, p13-14) por que "2". não é possível (a média existe se a variação existir).

— Glen_b -Reinstate Monica
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+1 A razão pela qual (2) é impossível é trivial: a variação é definida em termos da média. Um pouco mais profundo é o fato de que, quando o segundo momento de

é finito, a média deve ser finita. Pois se a média é infinita, a fortiori o segundo momento deve ser infinito, porque o segundo momento está ponderando os valores de

X

$X$

não só pela probabilidade mas também por

em si (

). Esses pesos crescem sem limites, fazendo com que o segundo momento exceda o valor absoluto do primeiro momento.

X

$X$

X

$X$

X^{2} = X \times X

$X^2 = X\times X$

— whuber

4

@whuber, mas você pode definir a variação sem referência à média (como em termos de expectativa de diferenças ao quadrado em pares de valores), para que a questão não seja tão trivial quanto essa. Algo mais parecido com o seu segundo argumento é realmente necessário.

— Glen_b -Reinstala Monica 27/03

3

Esse é um bom argumento, mas se aceitarmos que qualquer definição alternativa da variação é algebricamente equivalente à definição usual para todas as distribuições, se for indefinida de acordo com uma definição que logicamente pareceria uma demonstração suficiente de que é indefinida de acordo com para o centro comercial. Onde alternativas como a mencionada vêm à tona é o estudo de processos estocásticos, onde as várias definições não são equivalentes.

— whuber

2

Sim eu quero. Uma variância, sendo a expectativa de uma variável aleatória não negativa, iguala a integral de Lebesgue apenas da parte positiva. Portanto, é finito ou infinito (na linha numérica estendida), não importa o quê. Essa propriedade de não ser negativa distingue a análise de momentos pares da de outros momentos, que podem deixar de ser definidos.

— whuber

2

A definição de variância é que é igual a

.

E [(X - E (X))^{2}]

$\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$

— whuber

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Distribuições estáveis fornecem bons exemplos paramétricos do que você está procurando:

média infinita e variância: $0 < \text{stability parameter} < 1$
N / D
média finita e variância infinita: $1 \leq \text{stability parameter} < 2$
média finita e variância: (Gaussiano) $\text{stability parameter} = 2$

— Steve Schulist
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1

Ninguém mencionou o paradoxo de São Petersburgo aqui; caso contrário, não postaria em um tópico tão antigo que já tenha várias respostas, incluindo uma resposta "aceita".

Se uma moeda cair "cara", você ganha um centavo.

Se "coroa", os ganhos dobram e, em seguida, se "cara" no segundo sorteio, você ganha dois centavos.

Se "deriva" na segunda vez, os ganhos dobram novamente e se "derramar" no terceiro sorteio, você ganha quatro centavos.

\begin{array}{rccc} outcome & winnings & probability & product \\ H & 1 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ TH & 2 & 1 / 4 & 1 / 2 \\ TTH & 4 & 1 / 8 & 1 / 2 \\ TTTH & 8 & 1 / 16 & 1 / 2 \\ TTTTH & 16 & 1 / 32 & 1 / 2 \\ TTTTTH & 32 & 1 / 64 & 1 / 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array}

$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = + \infty,

$\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$ modo que é um valor esperado infinito.

$\$1$ $\$1$ trilhão, etc., será o vencedor. Como pode ser isso, quando é improvável que você ganhe mais do que alguns centavos de cada vez?

A resposta é que, em ocasiões muito raras, você terá uma longa sequência de caudas, de modo que os ganhos o compensarão pela imensa despesa em que você incorreu. Isso é verdade, não importa quão alto seja o preço que você paga por cada sorteio.

— Michael Hardy
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-1

X_{2} = number of times you can zoom in like 10cm into a fractal

$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$

— Mr. Joe
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\infty - \infty = 0

$\infty - \infty=0$