Quadrado de distribuição normal com variação específica

Qual é a distribuição do quadrado de uma variável aleatória com distribuição normal $X^2$ com $X\sim N(0,\sigma^2/4)$ ?
Eu sei que $\chi^2(1)=Z^2$ é um argumento válido para ao quadrado uma distribuição normal padrão , mas e o caso de variação não unitária?

distributions normal-distribution

— CodeTrek
fonte

Por que não calcular isso diretamente a partir da equação Normal e plotar a função resultante?

Estou à procura de uma explicação teórica aqui ...

— CodeTrek

Escreva

... ou equivalente

Z = \frac{X}{σ / 2}

$Z = \frac{X}{\sigma/2}$

. Você pode fazer isso agora?

X = \frac{σ}{2} \cdot Z

$X=\frac{\sigma}{2}\cdot Z$

— Glen_b -Reinstala Monica

? Então, nada de chi quadrado sem graça?

σ^{2} / 4 * χ^{2} (1)

$\sigma^2/4∗\chi^2(1)$

— CodeTrek

Contanto que a média seja

, nenhum material qui-quadrado não central; apenas baunilha em escala

distribuída como Glen_b aponta.

0

$0$

χ^{2}

$\chi^2$

— perfil completo de Dilip Sarwate

Para fechar este:

X \sim N (0, σ^{2} / 4) \Rightarrow \frac{X^{2}}{σ^{2} / 4} \sim χ_{1}^{2} \Rightarrow X^{2} = \frac{σ^{2}}{4} χ_{1}^{2} = Q \sim Gamma (1 / 2, σ^{2} / 2)

$X\sim N(0,\sigma^2/4) \Rightarrow \frac {X^2}{\sigma^2/4}\sim \mathcal \chi^2_1 \Rightarrow X^2 = \frac {\sigma^2}{4}\mathcal \chi^2_1 = Q\sim \text{Gamma}(1/2, \sigma^2/2)$

com

E (Q) = \frac{σ^{2}}{4}, Var (Q) = \frac{σ^{4}}{8}

$E(Q) = \frac {\sigma^2}{4},\;\; \text{Var}(Q) = \frac {\sigma^4}{8}$

— Alecos Papadopoulos
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Isto está errado. Se

então

X \sim N (μ, σ^{2})

$X\sim N(\mu, \sigma^2)$

masnão

\frac{X - μ}{σ} \sim χ_{1}^{2}

$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim \chi_1^2$

. Você está dividindo

pelo fator errado. Veja aqui:en.wikipedia.org/wiki/…

\frac{X - μ}{σ^{2}}

$\frac{X-\mu}{\sigma^2}$

X

$X$

— Euler_Salter 14/10/18

@Euler_Salter Você já viu como a variável

é definida na pergunta do OP?

X

$X$

— Alecos Papadopoulos

Ah, eu senti falta disso! Leia rápido demais! Desculpas

— Euler_Salter 14/10

@Euler_Salter Além disso, a variável padronizada segue uma distribuição chi , en.wikipedia.org/wiki/Chi_distribution . Você deve quadrá-lo para obter um qui-quadrado.

— Alecos Papadopoulos