Uma família exponencial crescente estocticamente para a qual

Questão

Uma coisinha que venho pensando há algum tempo:

Vamos $P_\theta$ ser estocasticamente um aumento (de um parâmetro) família exponencial na amostra espaço $\mathcal{X}$ com $\Theta\subset\mathbb{R}$ sendo o seu espaço de parâmetros natural, isto é $\Theta$ sendo o conjunto de valores para os quais a CDF $F_\theta$ define uma medida de probabilidade. É sempre verdade que

F_{θ} (x) ↗ 1 as θ ↘ inf Θ,

$F_\theta(x)\nearrow 1\qquad\mbox{as}\qquad\theta\searrow \inf\Theta,$ e

F_{θ} (x) ↘ 0 as θ ↗ sup Θ

$F_\theta(x)\searrow 0\qquad\mbox{as}\qquad\theta\nearrow \sup\Theta$ para todos

x \in X

$x\in\mathcal{X}$ que não estão no limite de

X

$\mathcal{X}$ ?

Definições, um exemplo, especulação

Uma distribuição $P_\theta$ sobre $\mathcal{X}$ parametrizada por $\theta\in\Theta$ aumenta estocticamente se, para fixo mas arbitrário $x\in\mathcal{X}$ , $F_\theta(x)$ está diminuindo em $\theta$ , onde $F_\theta(x)=\mbox{P}_\theta(X\leq x)$ .

$\mathcal{X}=\{0,1,2,\ldots,n\}$ $\Theta=(0,1)$

F_{θ} (x) = \sum_{k \leq x} (\binom{n}{k}) θ^{k} (1 - θ)^{n - k}

$F_\theta(x)=\sum_{k\leq x}{\binom{n}{k}}\theta^k(1-\theta)^{n-k}$

θ

$\theta$

Nesta configuração, temos e para todos os não estão no limite de . No limite, ou seja, quando , apenas um dos limites é atingido.

F_{θ} (x) ↗ 1 as θ ↘ inf Θ = 0,

$F_\theta(x)\nearrow 1\qquad\mbox{as}\qquad\theta\searrow \inf\Theta=0,$

F_{θ} (x) ↘ 0 as θ ↗ sup Θ = 1

$F_\theta(x)\searrow 0\qquad\mbox{as}\qquad\theta\nearrow \sup\Theta=1$

x

$x$

X

$\mathcal{X}$

x \in {0, n}

$x\in \{0,n\}$

Observe que se restringirmos o espaço do parâmetro a um subconjunto adequado de , como , isso não será mais verdadeiro: como . $(0,1)$ $(0.2,0.8)$ $F_\theta(5)\nearrow F_{0.2}(5)=0.174\ldots<1$ $\theta\searrow \inf\Theta=0.2$

Essa propriedade parece valer para todas as famílias exponenciais comumente usadas, portanto, meu palpite seria que, se existir um contraexemplo, deve ser um tanto patológico. Talvez pudesse envolver funções que causam explodir por algum finito , tornando sua integral infinita. Em certo sentido, isso tornaria o espaço do parâmetro "restrito". $\exp(<\theta,T(x)>)$ $(\theta,x)$

Um exemplo "trivial" é talvez a distribuição de Bernoulli (p), já que seu espaço de amostra é igual a seu próprio limite, de modo que apenas um dos limites pode ser atingido para cada ponto no espaço de amostra. Mas isso é um pouco chato, e eu prefiro ter um exemplo em que pelo menos um ponto do espaço da amostra não esteja no limite.

distributions mathematical-statistics exponential-family

— MånsT
fonte

É possível que apenas distribuições discretas da família exponencial de um parâmetro estejam aumentando estocamente? Porque, digamos, o exponencial, o qui-quadrado e o beta com um parâmetro fixo, exibem a relação oposta entre o cdf e o parâmetro.

— Alecos Papadopoulos

@ Alecos: isso teria sido útil, mas infelizmente não é o caso. Se aumenta ou diminui, é uma questão de parametrização. No caso da distribuição exponencial, por exemplo, ela aumentará ou diminuirá, dependendo de se usar ou como parâmetro.

E (X)

$E(X)$

1 / E (X)

$1/E(X)$

— MånsT

Se não estamos restritos à parametrização natural, encontrar um contra-exemplo é mais fácil (veja minha resposta). No entanto, mesmo com , podemos passar de decrescente para crescente, invertendo o sinal de .

η (θ) = θ

$\eta(\theta) = \theta$

T (x)

$T(x)$

— Juho Kokkala

Observe que o parâmetro natural para binomial é log-odds . Mas essa é uma função crescente monotônica de portanto o resultado é o mesmo.

\log (\frac{p}{1 - p})

$\log \left(\frac {p }{1-p}\right)$

p

$p$

— probabilityislogic

Juho: para ser realmente interessante, a parametrização deve ser equivalente à do parâmetro natural. Talvez meu exemplo binomial ilustre o que seria uma parametrização "válida": como apontou @probabilityislogic, eu não usei a parametrização natural no meu exemplo, mas uma que é uma bijeção do parâmetro natural.

— precisa saber é o seguinte

Respostas:

Se forem permitidas descontinuidades na densidade, é possível construir uma distribuição que se repita por dois intervalos consecutivos, que limita o CDF no primeiro intervalo para e no segundo intervalo para . Por exemplo, deixe Agora, para uma densidade proporcional a , o CDF é $[0,0.5]$ $[0.5,1]$

h (x) = 1, x \in [0, 4]

$\begin{equation} h(x) = 1, x\in [0,4] \end{equation}$

T (x) = {\begin{cases} 1 & x \in [0, 1) \cup [2, 3) \\ 2 & x \in [1, 2) \cup [3, 4] \end{cases}

$\begin{equation} T(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \quad x \in [0,1) \cup[2,3) \\ 2 & \quad x \in [1,2) \cup [3,4] \end{array} \right. \end{equation}$

h (x) e^{θ T (x)}

$h(x)e^{\theta T(x)}$

F_{θ} (x) = {\begin{cases} \frac{1}{2} \frac{x}{1 + e^{θ}} & x \in [0, 1) \\ \frac{1}{2} \frac{1 + (x - 1) e^{θ}}{1 + e^{θ}} & x \in [1, 2) \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{x - 2}{1 + e^{θ}} & x \in [2, 3) \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1 + (x - 3) e^{θ}}{1 + e^{θ}} & x \in [3, 4) \end{cases}

$\begin{equation} F_\theta(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}\,\frac{x}{1+e^\theta} & \quad x \in [0,1) \\ \frac{1}{2}\, \frac{1 + (x-1)e^\theta}{1+e^\theta} & \quad x \in [1,2) \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\,\frac{x-2}{1+e^\theta} & \quad x \in [2,3) \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\, \frac{1 + (x-3)e^\theta}{1+e^\theta} & \quad x \in [3,4) \\ \end{array} \right. \end{equation}$ que está diminuindo como uma função de para qualquer no espaço de amostra, mas, por exemplo,

θ

$\theta$

x

$x$

lim_{θ \to \infty} F_{θ} (2.1) = \frac{1}{2} .

$\begin{equation} \lim_{\theta \rightarrow \infty} F_\theta(2.1) = \frac{1}{2}. \end{equation}$

— Juho Kokkala
fonte

Este também é um truque que pode não ser o que você está procurando. Além disso, não tinha certeza se era melhor editar minha resposta anterior ou postá-la como uma resposta separada. No entanto, com base em meta.stackexchange.com/questions/28471/two-answers-one-question , decidi que separar era melhor, pois são duas abordagens diferentes.

— Juho Kokkala

Acho esse truque bastante atraente, na verdade! :) Obrigado.

— precisa saber é o seguinte

Com base nos comentários, não estamos restritos a considerar o parâmetro natural, mas podemos usar a forma geral Nesse caso, é possível 'trapacear' construindo para que alguns valores no espaço natural de não sejam alcançados com nenhum . Por exemplo, vamos Isso é uma distribuição exponencial (estranhamente parametrizada) com CDF que é uma diminuição função para conforme desejado. Contudo,

f_{θ} (x) \propto h (x) e^{T (x) η (θ)}

$\begin{equation} f_\theta(x) \propto h(x) e^{T(x)\eta(\theta)} \end{equation}$

η

$\eta$

η

$\eta$

θ

$\theta$

f_{θ} (x) \propto e^{- x \frac{1}{1 + e^{θ}}}, x \geq 0

$\begin{equation} f_\theta(x) \propto e^{-x\,\frac{1}{1+e^\theta}},~x\geq0 \end{equation}$

F_{θ} (x) = 1 - e^{- x / (1 + e^{θ})},

$\begin{equation} F_\theta(x) = 1 - e^{-x / ({1+e^\theta})}, \end{equation}$

θ

$\theta$

lim_{θ \to - \infty} F_{θ} (x) = 1 - e^{- x} < 1.

$\begin{equation} \lim_{\theta\rightarrow -\infty} F_\theta(x) = 1-e^{-x} < 1. \end{equation}$ O caso da parametrização natural permanece aberto (pelo menos para mim).

(η (θ) = θ)

$(\eta(\theta) = \theta)$

— Juho Kokkala
fonte

Isso é muito inteligente, mas não é exatamente o que eu tinha em mente! A resposta que estou procurando não precisa necessariamente ser escrita usando a parametrização natural, mas a parametrização deve ser equivalente à natural. Sua proposta é equivalente a usar a parametrização natural com um espaço de parâmetro restrito e, como escrevi na minha pergunta, isso realmente resultará na perda de limites adequados do cdf. Dito isto, posso muito bem recompensá-lo se não houver outras respostas!

— precisa saber é o seguinte