Qual é a probabilidade de uma casa de apostas estar com preços incorretos nos jogos de futebol?

Um time de futebol inglês joga uma série de partidas contra diferentes oponentes de diferentes habilidades. Um casa de apostas oferece probabilidades para cada partida, seja uma vitória em casa, uma vitória fora ou um empate. No meio da temporada, o time jogou $n$ partidas e empatou $k$ delas, o que é mais do que o esperado das probabilidades.

Qual é a probabilidade de a casa de apostas avaliar incorretamente as probabilidades nessas partidas, em vez de apenas ter azar? Se a casa de apostas continuar a classificar os jogos restantes da equipe de maneira semelhante, e eu aposto que $\$1$ cada um será um empate, qual é o meu retorno esperado?

probability games gambling

— Rodrigo de Azevedo
fonte

Perguntado anteriormente em math.stackexchange.com/q/31871/18398

— Joel Reyes Noche

A resposta para sua pergunta depende intricadamente de quais informações e suposições você usará. Isso ocorre porque o resultado de um jogo é um processo extraordinariamente complicado. Pode se tornar arbitrariamente complicado, dependendo das informações que você tem sobre:

Jogadores da equipe em particular - talvez até combinações particulares de jogadores possam ser relevantes.
Jogadores de outras equipes
História passada da liga
Qual é a estabilidade dos jogadores do time - os jogadores continuam sendo selecionados e descartados, ou é o mesmo 11.
A hora em que você faz sua aposta (durante o jogo? Antes? Quanto antes? Que informação é perdida nas apostas anteriores às apostas no dia?)
alguma outra característica relevante do futebol que eu omiti.

As probabilidades que um apostador dá não refletem as chances dos apostadores. o que é impossível se forem probabilidades. Um criador de livros ajustará as probabilidades para baixo quando alguém apostar em um empate e as ajustará quando alguém apostar em um não empate. Assim, as probabilidades são um reflexo das probabilidades dos apostadores (que usam esse bookmaker) como um todo. Portanto, não é a casa de apostas que está perdendo o preço em si, é o coletivo de apostas - ou o "jogador médio".

Agora, se você estiver disposto a presumir que qualquer "mecanismo causal" que resulte em um empate permanece constante ao longo da temporada (razoável? Provavelmente não ...), é obtido um problema matemático simples (mas observe que não há razão para isso estar "mais certo" do que qualquer outra suposição simplificadora). Para nos lembrar que esta é a suposição que está sendo usada, um será colocado no lado condicionado das probabilidades. Sob essa suposição, a distribuição binomial se aplica: $A$

P (k Draws in n matches | θ, A) = (\binom{n}{k}) θ^{k} (1 - θ)^{n - k}

$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$

E queremos calcular o seguinte

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A)

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$

= \int_{0}^{1} P (next match is a draw | θ, A) P (θ | k Draws in n matches, A) d θ

$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$

onde

P (θ | k Draws in n matches, A) = P (θ | A) \frac{P (k Draws in n matches | θ, A)}{P (k Draws in n matches | A)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$

é o posterior para . Agora, neste caso, é bastante óbvio que é possível que um sorteio aconteça, e também que isso não aconteça; portanto, um uniforme uniforme é apropriado (a menos que haja informações extras que desejemos incluir além dos resultados da temporada) ) e definimos . O posterior é dado por uma distribuição beta (onde é a função beta ) $\theta$ $P(\theta|A)=1$ $B(\alpha,\beta)$

P (θ | k Draws in n matches, A) = \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$

Dado e a probabilidade de que a próxima partida seja um empate é apenas então a integral se torna: $\theta$ $A$ $\theta$

\int_{0}^{1} θ \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)} d θ = \frac{B (k + 2, n - k + 1)}{B (k + 1, n - k + 1)} = \frac{k + 1}{n + 2}

$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$

e, portanto, a probabilidade é apenas:

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A) = \frac{k + 1}{n + 2}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$

Mas note que depende de - as suposições que foram feitas. Chamam de "probabilidades preço" uma probabilidade condicional em alguma outra informação complexa desconhecido, dizem . Portanto, se as probabilidades publicadas são diferentes da fração acima, isso indica que e levam a conclusões diferentes, de modo que ambas não podem estar certas sobre o "resultado real" (mas ambas podem estar certas, dependendo das suposições feitas) ) $A$ $B$ $A$ $B$

O SOPRO DO ASSASSINO

Este exemplo mostrou que a resposta à sua pergunta se resumia em decidir se era "mais preciso" que na descrição da mecânica do jogo de futebol. Isso acontecerá independentemente do que a proposição passa a ser . Sempre nos resumiremos à questão de perguntar "de quem são as suposições corretas, da coletiva ou da minha?" Esta última pergunta é basicamente uma pergunta que não pode ser respondida até que você saiba exatamente em que consiste a proposição (ou pelo menos alguns dos principais recursos). Pois como você pode comparar algo que é conhecido com algo que não é? $A$ $B$ $A$ $B$

ATUALIZAÇÃO: Uma resposta real :)

Como o @whuber apontou atrevidamente, eu realmente não dei um valor esperado aqui - então esta parte simplesmente completa essa parte da minha resposta. Se alguém assumir que é verdadeiro com probabilidades com preço de , então você esperaria que, no próximo jogo, recebesse $A$ $Q$

Q \times P (next match is a draw | k Draws in n matches, A) - 1

$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$

= Q \times \frac{k + 1}{n + 2} - 1 = \frac{Q (k + 1) - n - 2}{n + 2}

$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

Agora, se você assumir que o valor de é baseado no mesmo modelo que o seu, podemos prever exatamente como mudará no futuro. Suponha que sido baseado em um diferente anterior ao uniforme, digamos , então a probabilidade correspondente é $Q$ $Q$ $Q$ $Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A_{Q}) = \frac{k + α_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

com retorno esperado de

\frac{Q (k + α_{Q}) - n - α_{Q} - β_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

Agora, se fizermos o "peso anterior" que é a duração da temporada (isso permitirá que o "preço incorreto" continue no restante da temporada) e definir o retorno esperado para zero, obtemos: $\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$ $N$

α_{Q} = \frac{2 n + N}{2 Q} - k

$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$

(OBSERVAÇÃO: a menos que esse seja o modelo real, dependerá de quando esse cálculo foi feito, pois depende de que variará com o tempo). Agora somos capazes de prever como será ajustado no futuro; ele adicionará ao denominador para cada partida e ao numerador se a partida for um empate. Portanto, as chances esperadas após a primeira partida são: $\alpha_Q$ $n,k,Q$ $Q$ $1$ $1$

(1 + \frac{n + β_{Q} - k + 1}{k + α_{Q}}) \frac{n - k + β_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}} + (1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q} + 1}) \frac{k + α_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

= 1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q}} (1 + \frac{2}{(2 n + N) (k + α_{Q} + 1)}) \approx 1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q}}

$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$

Essa é a probabilidade não vai mudar muito ao longo da temporada. Usando essa aproximação, obtemos o retorno esperado ao longo do restante da temporada como:

(N - n) \frac{Q (k + 1) - n - 2}{n + 2}

$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

Mas lembre-se de que isso se baseia no modelo excessivamente simplista de um empate (nota: isso não significa necessariamente que será um preditor de "porcaria"). Não pode haver resposta única para sua pergunta, porque não há modelo especificado nem informações prévias especificadas (por exemplo, quantas pessoas usam este apostador? Qual é o volume de negócios do apostador? Como minhas apostas influenciam as chances de preço)? A única coisa que foi especificada são os dados de uma temporada e que, para "algum modelo não especificado", as probabilidades são inconsistentes com as implícitas no preço das probabilidades.

— probabilityislogic
fonte

As casas de apostas usam um overround para não se importarem com o resultado, porque ganham o que quer. É por isso que você nunca conhece um apostador ruim. Se uma casa de apostas estiver com preços incorretos, sua capacidade de obter lucro dependerá das chances oferecidas pela casa de apostas e se os lucros gerados cobririam os tempos que você perde.

— Parbury
fonte

Isso pode ser verdade, mas em grande parte irrelevante, porque a questão pede o retorno esperado do jogador, não o retorno esperado do bicheiro

— probabilityislogic

@probability Então, qual é o retorno esperado do jogador? Não encontrei na sua resposta :-).

— whuber