O que significa 'altamente não linear'?

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Costumo ler sobre uma função ser 'altamente não linear'. No meu entendimento, há "linear" e "não linear", então o que é isso 'altamente'? Existe uma diferença formal de não linear? Como é definido?

terminology nonlinear mathematical-statistics

— Toby El Tejedor
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Informalmente: "Não espere ser capaz de mapear facilmente alterações na entrada para alterar na saída".

— precisa saber é o seguinte

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Você leu isso em um artigo sobre Deep Learning? A aproximação de funções altamente não lineares é uma das motivações para o aprendizado profundo, porque uma rede superficial tem dificuldade em modelar os tipos de coisas que Joe descreve em sua resposta.

— Neil G

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Eu diria que depende de onde você lê. Se isso é escrito por pessoas com conhecimentos de matemática, pode significar que respostas aqui (até agora) fornecem. Se foi escrito por um médico, como um médico ou um biólogo, isso poderia significar que o relacionamento não é reto, mas altamente curvo. Na minha experiência, a maioria das pessoas pensa que regressão linear se refere a ajustar linhas retas aos dados, o que poderia ser parte da fonte da confusão.

— Roman Luštrik

Não, eu não @NeilG.

— Toby El Tejedor

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Não é um termo definido isoladamente - um físico tenderá a ter um significado bem diferente do termo que um criptógrafo. Sem mais contexto, essa pergunta não pode ser respondida adequadamente - adivinhamos o contexto (ou teríamos que explicar cada um deles).

— Glen_b -Reinstala Monica

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Eu não acho que exista uma definição formal. Minha impressão é que isso significa simplesmente que não é não linear, mas tentar modelá-lo com uma aproximação linear não produzirá resultados razoáveis e pode até causar instabilidade no método de ajuste. Alguém também pode usá-lo para simplesmente significar que pequenas alterações na entrada podem resultar em alterações contra-intuitivamente grandes na saída.

— Wayne
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(+1) por oferecer um critério / conteúdo muito sensível para "altamente não linear" (essa aproximação linear pode piorar as coisas).

— Alecos Papadopoulos

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Em um sentido formal, acredito que se poderia dizer que a segunda derivada difere substancialmente de zero. Se 0 fosse uma aproximação "razoável" da segunda derivada sobre o domínio de interesse, é quase linear, mas se não for, os efeitos não lineares se tornam muito importantes para capturar.

Eu raramente ouvi termos como esse se aplicarem a polinômios relativamente simples, geralmente em uso prático parece se aplicar a sistemas dinâmicos divergentes (coisas da teoria do caos) ou a funções muito suaves (onde derivadas de ordem superior não são zero) )

— Joe
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Aliás, "suave" é realmente um termo técnico, significando que todo derivado existe. x -> e^xé suave, embora seus derivados de todas as ordens estão em toda parte diferente de zero :-)

— Steve Jessop

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$f(x)=x^2$

$[-10;10]$
$[-10;0]$ $[0;10]$ $f$

$f(x)=x^3-x$

$[-1;1]$
$[-10;;10]$

— sds
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x^{2}

$x^2$

x = [0.1, 0.2, 0.3]

$x =[0.1,0.2,0.3]$

f (x) = [0.01, 0.04, 0.09]

$f(x)=[0.01,0.04,0.09]$

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@Aksakal: a função não é certamente linear (em qualquer lugar), mas, como eu disse, "pode-se, possivelmente, usar uma aproximação linear de f sem um desastre imediato"

— sds

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Qualquer função pode ser aproximada por uma linha, é apenas uma questão de quão ruim é a aproximação. E em x \ in [0, 0,5], o erro não é tão ruim.

— Joe

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$y=f(x)$ $\sigma^2=var[x]$ $f(x+\sigma)\approx f(x)+f'(x)\sigma$ $f(x)=exp(x^2)$ $x$ $1+x^2+x^4/2+O(x^5)$

— Aksakal
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Informalmente ... "altamente não linear" significa "até um cego pode ver que não é uma linha reta!" ;) Pessoalmente, tomo isso como um sinal de perigo, que de alguma forma "explodirá na sua cara" quando usado com exemplos do mundo real.

A Torre de Hanói poderia ser chamada de exemplo de altamente não linear ... a lenda é que, quando os monges terminarem uma pilha de 64 discos, o mundo terminará. Se você contar o tempo total gasto em treinamento, alimentação, moradia e motivação de todos para apoiar uma tarefa multigeracional sem sentido e ingrata, eu esperaria que o custo total em horas-homem realmente explodisse!

— iheggie
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Como matemático profissional, posso confirmar que "altamente não linear" não é um termo matemático definido com precisão. :)

E nada de "muito qualquer coisa" que eu possa pensar.

Não linear é preciso e oposto ao linear (obviamente).

Mas linear ocorre em dois significados diferentes:

$f(x) = ax+b$
$f(x) = ax$ $b$

$(ax + b)$

— Dmitri Zaitsev
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Até agora, esta é a única resposta, eu concordo;) (+1) por ser da velha escola!

— Raaja 12/12