Amostragem de Gibbs para o modelo Ising

Pergunta de lição de casa:

Considere o modelo Ising 1-d.

Vamos . x i é -1 ou +1$x = (x_1,...x_d)$$x_i$

$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

Crie um algoritmo de amostragem de gibbs para gerar amostras aproximadamente a partir da distribuição alvo .$\pi(x)$

Minha tentativa:

Aleatoriamente escolher valores (ou -1 ou 1) para enchimento do vetor . Então talvez x = ( - 1 , - 1 , 1 , 1 , 1 , - 1 , 1 , 1 , . . . , 1 ) . Então isso é x 0 .$x = (x_1,...x_{40})$$x = (-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1,...,1)$$x^0$

Então agora precisamos seguir em frente e fazer a primeira iteração. Temos que desenhar os 40 x diferentes para separadamente. Assim...$x^1$

Desenhar de π ( x 1 | x 0 2 , . . . , X 0 40$x_1^1$$\pi(x_1 | x_2^0,...,x_{40}^0)$

Desenhar de π ( x 2 | x 1 1 , x 0 3 , . . . , X 0 40$x_2^1$$\pi(x_2 | x_1^1, x_3^0,...,x_{40}^0)$

$x_3^1$$\pi(x_3 | x_1^1, x_2^1, x_4^0,...,x_{40}^0)$

Etc ..

$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

$x_1$

$$\pi(x_1\mid x_2,\dots,x_d) = \frac{\pi(x_1,x_2,\dots,x_d)}{\pi(x_2,\dots,x_d)} \propto e^{x_1 x_2}$$ $$P(X_1=-1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{-x_2}}{C}$$ $$P(X_1=1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{x_2}}{C}$$ $$\frac{e^{-x_2}}{C} + \frac{e^{x_2}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_2$$

x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

$x_2,\dots,x_{40}$

Você pode usar os resultados analíticos da Ising para verificar sua simulação?