Funções de Variáveis ​​Aleatórias Independentes

A afirmação de que funções de variáveis ​​aleatórias independentes são elas próprias independentes, é verdade?

Vi esse resultado frequentemente usado implicitamente em algumas provas, por exemplo, na prova de independência entre a média da amostra e a variação da amostra de uma distribuição normal, mas não consegui encontrar justificativas para isso. Parece que alguns autores consideram isso dado, mas não tenho certeza de que esse seja sempre o caso.

A definição mais geral e abstrata de independência torna essa afirmação trivial, ao mesmo tempo em que fornece uma condição de qualificação importante: que duas variáveis ​​aleatórias são independentes significa que as álgebras sigma que geram são independentes. Como a sigma-álgebra gerada por uma função mensurável de uma sigma-álgebra é uma sub-álgebra, a maioria das funções mensuráveis ​​dessas variáveis ​​aleatórias possui álgebras independentes, de onde essas funções são independentes.

(Quando uma função não é mensurável, geralmente não cria uma nova variável aleatória, portanto o conceito de independente nem se aplica.)

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Vamos desembrulhar as definições para ver como isso é simples. Lembre-se de que uma variável aleatória é uma função com valor real definida no "espaço da amostra" (o conjunto de resultados que está sendo estudado por probabilidade).$X$$\Omega$

1. Uma variável aleatória é estudada por meio das probabilidades de que seu valor esteja dentro de vários intervalos de números reais (ou, de maneira mais geral, conjuntos construídos de maneira simples a partir de intervalos: esses são os conjuntos mensuráveis ​​de números reais de Borel).$X$

2. Correspondente a qualquer Borel conjunto mensurável é o evento que consiste de todos os resultados para o qual mentiras em .X ∗ ( I ) ω X ( ω ) $I$ $X^{*}(I)$$\omega$$X(\omega)$$I$

3. A sigma-álgebra gerada por é determinada pela coleção de todos esses eventos.$X$

4. A definição ingênua diz que duas variáveis ​​aleatórias e são independentes "quando suas probabilidades se multiplicam". Ou seja, quando sou um conjunto mensurável de Borel e é outro, entãoY I $X$$Y$$I$$J$

   $\Pr(X(\omega)\in I\text{ and }Y(\omega)\in J) = \Pr(X(\omega)\in I)\Pr(Y(\omega)\in J).$

5. Mas na linguagem dos eventos (e das álgebras sigma) é o mesmo que

   $\Pr(\omega \in X^{*}(I)\text{ and }\omega \in Y^{*}(J)) = \Pr(\omega\in X^{*}(I))\Pr(\omega\in Y^{*}(J)).$

Considere agora duas funções e suponha que e sejam variáveis ​​aleatórias. (O círculo é composição funcional: . É o que significa para ser uma "função de uma variável aleatória".) é apenas a teoria dos conjuntos elementares - que f ∘ X g ∘ Y ( f ∘ X ) ( ω ) = f ( X ( ω ) ) $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$f \circ X$$g\circ Y$$(f\circ X)(\omega) = f(X(\omega))$$f$

$$(f\circ X)^{*}(I) = X^{*}(f^{*}(I)).$$

Em outras palavras, todo evento gerado por (que está à esquerda) é automaticamente um evento gerado por$f\circ X$$X$ (conforme exibido na forma do lado direito). Portanto (5) se aplica automaticamente a e : não há nada para verificar! f ∘ X g ∘ Y$f\circ X$$g\circ Y$

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NB Você pode substituir "valor real" em todos os lugares por "com valores em " sem precisar alterar mais nada de maneira material. Isso abrange o caso de variáveis ​​aleatórias com valor vetorial.$\mathbb{R}^d$

Considere esta prova "menos avançada":

Seja , onde são variáveis ​​aleatórias independentes são funções mensuráveis. Então: Usando a independência de e , X , Y f , g P { f ( X ) ≤ x  e  g ( Y ) ≤ y $X:\Omega_X\to\mathbb{R}^n,Y:\Omega_Y\to\mathbb{R}^m,f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k,g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$$X,Y$$f,g$XYP({X∈{w∈ R n :f(w)≤x}

$$P\{f(X)\leq x \text{ and } g(Y)\leq y\}\\=P(\{f(X)\leq x\}\cap\{g(Y)\leq y\})\\=P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\}).$$ $X$$Y$ $$P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\})=\\=P\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\cdot P\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\} \\=P\{f(X)\leq x\}\cdot P\{g(Y)\leq y\}.$$

A idéia é perceber que o conjunto assim propriedades que são válidos para são estendidas para e o mesmo acontece para .X f ( X )

$$\{f(X)\leq x\}\equiv\{w\in\Omega_X:f(X(w))\leq x\}=\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\},$$ $X$$f(X)$$Y$

Sim, e são independentes de qualquer funções e , desde que e são independentes. É um resultado muito conhecido, estudado em cursos de teoria das probabilidades. Tenho certeza que você pode encontrá-lo em qualquer texto padrão como o de Billingsley.h ( Y ) g h X $g(X)$$h(Y)$$g$$h$$X$$Y$

Não como uma alternativa, mas como uma adição às respostas brilhantes anteriores, observe que esse resultado é de fato muito intuitivo.

Geralmente, pensamos que e sendo independentes significa que conhecer o valor de não fornece informações sobre o valor de e vice-versa. Essa interpretação obviamente implica que você não pode "espremer" uma informação aplicando uma função (ou por qualquer outro meio).$X$$Y$$X$$Y$