É possível integrar analiticamente

Em primeiro lugar, ao integrar analiticamente, quero dizer, existe uma regra de integração para resolver isso, em oposição às análises numéricas (como as regras trapezoidal, Gauss-Legendre ou Simpson)?

Eu tenho uma função onde $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}f(x) = x g(x; \mu, \sigma)$ é a função de densidade de probabilidade de uma distribuição lognormal com os parâmetrose. Abaixo, abreviarei a notação parae usareipara a função de distribuição cumulativa.

g (x; μ, σ) = \frac{1}{σ x \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}}

$g(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2}$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

g (x)

$g(x)$

G (x)

$G(x)$

Preciso calcular a integral

\int_{uma}^{b} f (x) d x .

$\int_{a}^{b} f(x) \,\rd x \>.$

Atualmente, estou fazendo isso com integração numérica usando o método Gauss-Legendre. Como eu preciso executar isso várias vezes, o desempenho é importante. Antes de procurar otimizar as análises numéricas / outras partes, gostaria de saber se existem regras de integração para resolver isso.

Tentei aplicar a regra de integração por partes e cheguei a isso, onde estou preso novamente,

. $\int u \,\mathrm{d}v = u v - \int v \mathrm{d}u$
$u=x \implies \rd u = \rd x$
$\rd v = g(x) \rd x \implies v = G(x)$
$u v - \int v \rd x = x G(x) - \int G(x) \rd x$

Estou preso, pois não posso avaliar . $\int G(x) \rd x$

Isto é para um pacote de software que estou construindo.

distributions lognormal

— Rosh
fonte

@Rosh, por

te de densidade da probabilidade média de distribuição log-normal?

l o g n o r m a l

$lognormal$

— precisa saber é o seguinte

Isso é expressável como tempos constantes, uma diferença de dois cdfs normais. Os cdfs normais são eficientemente calculados usando a aproximação racional de Chebyshev de W. Cody. Você não deve precisar e, quase sem dúvida, não deve preferir alternativas de integração numérica a isso. Se você precisar de mais detalhes, eu posso publicá-los.

— cardeal

@mpiktas, Sim, lognormal é a função de densidade de probabilidade e lognormalCDF é a função de densidade cumulativa.

— Rosh

@Rosh

tem uma distribuição lognormal significa que o

é normalmente distribuído. Assim, substitua

na sua integral original . O integrando é um exponencial cujo argumento é uma função quadrática de

. A conclusão do quadrado transforma-o em um múltiplo de um PDF normal; portanto, sua resposta é escrita em termos do CDF normal e dos exponenciais dos pontos de extremidade originais. Existem muitas boas aproximações ao CDF normal (um múltiplo da função de erro).

x

$x$

\log (x)

$\log(x)$

x = \exp (y)

$x = \exp(y)$

y

$y$

— whuber

Sim, @whuber e eu estávamos descrevendo a mesma coisa. Você deve obter algo como

onde

e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α))

$e^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2} (\Phi(\beta) - \Phi(\alpha))$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu+\sigma^2))/\sigma$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$ denota o cdf normal. Observe que, dependendo dos valores de

, há maneiras de reescrever essa expressão para ser mais numericamente estável.

a

$a$

b

$b$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— cardeal

Resposta curta : Não, não é possível, pelo menos em termos de funções elementares. No entanto, existem algoritmos numéricos muito bons (e razoavelmente rápidos!) Para calcular essa quantidade e devem ser preferidos a qualquer técnica de integração numérica nesse caso.

Quantidade de interesse em termos de cdf normal

A quantidade na qual você está interessado está realmente relacionada à média condicional de uma variável aleatória lognormal. Isto é, se é distribuído como um log-normal com parâmetros e , em seguida, utilizando a sua notação, $X$ $\mu$ $\sigma$

\int_{uma}^{b} f (x) d x = \int_{uma}^{b} \frac{1 1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1 1}{2 σ^{2}} (registro (x) - μ)^{2}} d x = P (uma \leq X \leq b) E (X ∣ uma \leq X \leq b) .

$\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \int_a^b f(x) \rd x = \int_a^b \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2} \rd x = \Pr(a \leq X \leq b) \e(X \mid a \leq X \leq b) \>.$

$z = (\log(x) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$ $x = e^{\mu + \sigma^2} e^{\sigma z}$

\int_{uma}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1 1}{2} σ^{2}} \int_{α}^{β} \frac{1 1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1 1}{2} z^{2}} d z,

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} z^2} \rd z \> ,$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$ .

\int_{uma}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1 1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α)),

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \big( \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) \big) \>,$

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- z^{2} / 2} d z

$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \rd z$

Aproximação numérica

$\Phi(x)$

Assim, resta usar um algoritmo numérico para aproximar a quantidade desejada. Isso pode ser feito dentro do ponto flutuante de precisão dupla IEEE através de um algoritmo do WJ Cody's. É o algoritmo padrão para esse problema e, utilizando expressões racionais de uma ordem bastante baixa, também é bastante eficiente.

Aqui está uma referência que discute a aproximação:

WJ Cody, aproximações do Rational Chebyshev para a função de erro , matemática. Comp. , 1969, pp.631-637.

$R$

Aqui está uma pergunta relacionada, caso você esteja interessado.

— cardeal
fonte