Como branquear os dados usando a análise de componentes principais?

Eu quero transformar meus dados $\mathbf X$ modo que as variações sejam uma e as covariâncias sejam zero (ou seja, eu quero branquear os dados). Além disso, os meios devem ser zero.

Sei que chegarei lá fazendo a padronização Z e a transformação PCA, mas em que ordem devo fazê-las?

Devo acrescentar que a transformação de clareamento composta deve ter o formato .$\mathbf{x} \mapsto W\mathbf{x} + \mathbf{b}$

Existe um método semelhante ao PCA que faz exatamente essas duas transformações e me fornece uma fórmula do formulário acima?

Primeiro, você obtém o zero médio subtraindo a média .$\boldsymbol \mu = \frac{1}{N}\sum \mathbf{x}$

Segundo, você obtém as covariâncias zero ao fazer o PCA. Se é a matriz de covariância de seus dados, o PCA equivale a executar uma composição automática , onde está uma matriz de rotação ortogonal composta por vetores próprios de e é uma matriz diagonal com valores próprios na diagonal. Matrix fornece uma rotação necessária para correlacionar os dados (ou seja, mapeia os recursos originais para os principais componentes).$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Sigma = \mathbf{U} \boldsymbol \Lambda \mathbf{U}^\top$$\mathbf{U}$$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Lambda$$\mathbf{U}^\top$

Terceiro, após a rotação, cada componente terá variação dada por um valor próprio correspondente. Portanto, para tornar as variações iguais a , você precisa dividir pela raiz quadrada de .$1$$\boldsymbol \Lambda$

No conjunto, a transformação de clareamento é . Você pode abrir os colchetes para obter o formulário que está procurando.$\mathbf{x} \mapsto \boldsymbol \Lambda^{-1/2} \mathbf{U}^\top (\mathbf{x} - \boldsymbol \mu)$

Atualizar. Consulte também este tópico posterior para obter mais detalhes: Qual é a diferença entre o clareamento de ZCA e clareamento de PCA?