Qual é o objetivo das funções características?

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Espero que alguém possa explicar, em termos leigos, o que é uma função característica e como é usada na prática. Eu li que é a transformação de Fourier do pdf, então acho que sei o que é, mas ainda não entendo seu propósito. Se alguém pudesse fornecer uma descrição intuitiva de seu objetivo e talvez um exemplo de como é normalmente usado, isso seria fantástico!

Apenas uma última observação: eu vi a página da Wikipedia , mas aparentemente sou muito densa para entender o que está acontecendo. O que estou procurando é uma explicação que alguém que não esteja imerso nas maravilhas da teoria das probabilidades, diz um cientista da computação, possa entender.

probability mathematical-statistics characteristic-function

— usuario
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Antigamente, as pessoas usavam tabelas de logaritmo para multiplicar números mais rapidamente. Por que é isso? Os logaritmos convertem multiplicação em adição, pois . Assim, a fim de se multiplicam duas grandes números de e , que encontrou seus logaritmos, adicionados os logaritmos, , e, em seguida, olhou-se na outra tabela. $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ $a$ $b$ $z = \log(a) + \log(b)$ $\exp(z)$

Agora, funções características fazem uma coisa semelhante para distribuições de probabilidade. Suponha que tenha uma distribuição e tenha uma distribuição , e e sejam independentes. Então a distribuição de é a convolução de e , . $X$ $f$ $Y$ $g$ $X$ $Y$ $X+Y$ $f$ $g$ $f * g$

Agora a função característica é uma analogia do "truque da tabela de logaritmos" para convolução, pois se é a função característica de , então a seguinte relação é válida: $\phi_f$ $f$

ϕ_{f} ϕ_{g} = ϕ_{f * g}

$\phi_f \phi_g = \phi_{f * g}$

Além disso, também como no caso dos logaritmos, é fácil encontrar o inverso da função característica: dado onde é uma densidade desconhecida, podemos obter pela transformada inversa de Fourier de . $\phi_h$ $h$ $h$ $\phi_h$

A função característica converte convolução em multiplicação para funções de densidade da mesma maneira que os logaritmos convertem multiplicação em adição para números. Ambas as transformações convertem uma operação relativamente complicada em uma operação relativamente simples.

— charles.y.zheng
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Outros itens que vale a pena mencionar: (a) Recuperação de momentos por diferenciação, (b) o fato de que todas as distribuições têm funções características (em comparação com funções geradoras de momento), (c) A (essencialmente) correspondência individual entre distribuições e suas funções características; e (d) o fato de muitas distribuições relativamente comuns terem funções características conhecidas, mas nenhuma expressão conhecida para a densidade (por exemplo, distribuições estáveis de Levy).

— cardeal

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Bons comentários, @ cardinal. Considere transformá-los em uma resposta real.

— whuber

Para aqueles de vocês que entendem esse tópico, ele está de alguma forma relacionado às Equações Características, usadas nas relações de recorrência (ou seja, na Matemática Concreta de Knuth)? Meu palpite é que eles são muito diferentes e compartilham apenas a palavra "característica" por acaso, mas pensei em perguntar.

— 18711 Wayne

@ Wayne você deve postar isso como uma pergunta. Eu acho que existe uma conexão estreita: Funções características surgem da Transformada de Fourier, que é a Transformada de Gelfand relacionada a distribuições na linha real. A equação característica de uma relação de recorrência parece surgir da função geradora de probabilidade, que é a transformada de Gelfand, associada aos números naturais. As variáveis nas relações de recorrência podem ser consideradas como tendo valores em intervalos de tempo discretos, isto é, números naturais.

— 21415 Cantor

@Wayne ... Então, acho que o operador que recebe uma variável em uma relação de recorrência com sua equação característica pode ser considerado a "Transformada de Fourier" relacionada a distribuições nos números naturais. Pesquisei e não encontrei esta pergunta, mas ficaria muito interessado em ver respostas se você a publicasse.

— cantorhead

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@ charles.y.zheng e @ cardinal deram respostas muito boas, vou adicionar meus dois centavos. Sim, a função característica pode parecer complicação desnecessária, mas é uma ferramenta poderosa que pode gerar resultados. Se você estiver tentando provar algo com a função de distribuição cumulativa, é sempre recomendável verificar se não é possível obter o resultado com a função característica. Isso às vezes fornece provas muito curtas.

Embora, a princípio, a função característica pareça uma maneira não intuitiva de trabalhar com distribuições de probabilidade, existem alguns resultados poderosos diretamente relacionados a ela, o que implica que você não pode descartar esse conceito como um mero divertimento matemático. Por exemplo, meu resultado favorito na teoria das probabilidades é que qualquer distribuição infinitamente divisível tem a representação única de Lévy – Khintchine . Combinado com o fato de que as distribuições infinitamente divisíveis são a única distribuição possível para limites de somas de variáveis aleatórias independentes (excluindo casos bizarros), esse é um resultado profundo usando o qual o teorema do limite central é derivado.

— mpiktas
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O objetivo das funções características é que elas podem ser usadas para derivar as propriedades das distribuições na teoria das probabilidades. Se você não está interessado em tais derivações, não precisa aprender sobre funções características.

— uma parada
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Suponho que possa me interessar por essas derivações - simplesmente não entendo por que precisamos ir para a função característica? Por que é mais fácil do que lidar diretamente com o pdf / cdf?

— 21411 Nick

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ℏ

$\hbar$

Não precisamos usá-los. Eu disse apenas que eles podem ser usados. Às vezes eles dão uma derivação mais rápida, às vezes não ajudam em nada. Se uma derivação é 'mais fácil' depende do que você já sabe - se você ainda não conhece as funções características, não será mais fácil. Em alguns casos, as funções geradoras de momento fornecem uma alternativa e têm uma interpretação mais direta.

— onestop 17/04

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A função característica é a transformada de Fourier da função de densidade da distribuição. Se você tem alguma intuição em relação às transformadas de Fourier, esse fato pode ser esclarecedor. A história comum sobre transformadas de Fourier é que elas descrevem a função 'no espaço de frequências'. Como uma densidade de probabilidade geralmente é unimodal (pelo menos no mundo real ou nos modelos criados sobre o mundo real), isso não parece muito interessante.

— shabbychef
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Nota : Um editor em potencial afirma que a "função característica é a transformação de Fourier inversa ".

— gung - Restabelece Monica

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A transformação de Fourier é uma decomposição da função (não periódica) em suas frequências. Interpretação para densidades?

A transformação de Fourier é a versão contínua de uma série de Fourier, uma vez que nenhuma densidade é periódica, nenhuma expressão como "série característica".

— niko schmith
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