Existe um teorema que diz que

Seja qualquer distribuição com média definida, μ e desvio padrão, σ . O teorema do limite central diz que $X$$\mu$$\sigma$ converge na distribuição para uma distribuição normal padrão. Se substituirmosσpelo desvio padrão da amostraS, existe um teorema afirmando que

$$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$$ $\sigma$$S$ converge em distribuição para uma distribuição t? Como parauma distribuiçãontgrande seaproxima de um normal, o teorema, se existir, pode indicar que o limite é uma distribuição normal padrão. Portanto, parece-me que as distribuições t não são muito úteis - que são úteis apenas quandoXé aproximadamente normal. É esse o caso? $$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$$ $n$$X$

Se for possível, você indicaria referências que contêm uma prova deste CLT quando é substituído por S ? Tal referência poderia preferencialmente usar conceitos da teoria da medida. Mas qualquer coisa seria ótimo para mim neste momento.$\sigma$$S$

$n$$X$$\mu$$\sigma$

$$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$$ $$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$$

$Y_n = \frac 1{S_n}$$S_n$$X$

A amostra é iid e, portanto, os momentos da amostra estimam consistentemente os momentos da população. então

$$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$$

$$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$$ $c$

$$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$$

Quanto à utilidade da distribuição de Student, mencionei apenas que, em seus "usos tradicionais" relacionados a testes estatísticos, ainda é indispensável quando o tamanho da amostra é realmente pequeno (e ainda somos confrontados com tais casos), mas também que foi amplamente aplicado para modelar séries autoregressivas com heterocedasticidade (condicional), especialmente no contexto da Econometria Financeira, onde esses dados surgem com frequência.