Aqui está uma boa introdução rápida:
introdução às redes neurais.
Observe que o R possui funcionalidade de rede neural; portanto, não é necessário gastar tempo implementando o NN por si próprio até você dar uma olhada e decidir que parece promissor para o seu aplicativo.
As redes neurais não são obsoletas, mas elas passaram por alguns ciclos de hype e, depois de perceberem que não fazem tudo como foi reivindicado, sua reputação entra em depressão por um tempo (atualmente estamos em uma delas) . As redes neurais são boas em determinadas tarefas e geralmente são melhores para tarefas nas quais um ser humano pode realizar uma tarefa semelhante, mas não pode explicar exatamente como o faz.
As redes neurais não fornecem muitas informações sobre o sistema que você está usando para analisar, mesmo depois de treinadas e operando bem. Ou seja, eles podem prever o que acontecerá (em alguns sistemas), mas não sabem o porquê. Em alguns casos, isso é bom. Em outros, isso não está bem. Geralmente, se você deseja, ou especialmente se já possui um entendimento das regras de como algo funciona, pode usar outras técnicas.
Mas, para certas tarefas, elas funcionam bem.
Para séries temporais em particular, consulte a discussão desta pergunta:
Maneira correta de usar redes neurais recorrentes para análise de séries temporais