Encontrei a fonte Emoji One , que suporta todos os emojis até a versão atual Unicode, incluindo emojis coloridos (incorporando SVGs ou algo assim).
Se a fonte for especificada, o Firefox suporta os emojis coloridos bem:

e Chrome e IE suportam seus fallbacks monocromáticos:

mas apenas instalar a EmojiOneColor-SVGinOT.ttf
fonte no Windows não é bom o suficiente para se livrar das caixas, aparentemente porque outras fontes são preferidas a ela ?
Soluções alternativas:
cromada
Instalar a extensão Emoji Keyboard (2016) e ativar "Substituição automática" nas opções (que está ativada por padrão):

produz emoticons coloridos no Chrome até o Unicode 9. (A versão Unicode suportada é declarada na página Versões eosrei / emojione-color-font Releases ):

A substituição automática funciona em todos os sites, mas não em caixas de texto editáveis.
Raposa de fogo
O Firefox exibe os caracteres com Arial, independentemente do que você instalou, o que você pode ver instalando a extensão FontFinder .
Um script Greasemonkey adicionará a fonte à tag body de todas as páginas, mas isso não resolve o problema em várias que testei. Funciona em alguns, como superuser.com.
Alterar a fonte padrão do navegador para Emoji One parece funcionar na maioria dos casos, mas pode ter efeitos colaterais. (Por exemplo, isso substitui o sinal ™ também, o que a extensão do Chrome não faz.)
A extensão Emoji Everywhere funciona, mas parece diminuir o carregamento da página em comparação com a fonte e suporta apenas o Unicode 6.1.