Existe uma maneira de executar um applet Java no Chrome ou Firefox?
Não. Os applets não são mais suportados no Firefox ou Chrome.
O Firefox não oferece mais suporte a NPAPI (tecnologia necessária para miniaplicativos Java)
Em setembro de 2018, o Firefox não oferece mais uma versão compatível com NPAPI, a tecnologia necessária para executar os applets Java. O Java Plugin para navegadores da Web conta com a arquitetura de plug-in de plataforma cruzada NPAPI, suportada por todos os principais navegadores da Web há mais de uma década. A versão de 64 bits do Firefox nunca suporta NPAPI, e a versão 52ESR do Firefox é a última versão a suportar a tecnologia. Está abaixo da linha de base de segurança e não é mais suportada.
Navegador de origem Java e Firefox
O Chrome não é mais compatível com NPAPI (tecnologia necessária para miniaplicativos Java)
O Java Plugin para navegadores da Web conta com a arquitetura de plug-in de plataforma cruzada NPAPI, suportada por todos os principais navegadores da Web há mais de uma década. A versão 45 e superior do Google Chrome descartou o suporte ao NPAPI e, portanto, o Java Plugin não funciona mais nesses navegadores.
Java de origem e navegador Google Chrome
Então, como executo applets Java?
Use o AppletViewer, de um JDK antes do Java SE 11.
O comando appletviewer permite executar applets fora de um navegador da web.
SINOPSE
appletviewer [ options ] urls ...
DESCRIÇÃO
O comando appletviewer se conecta aos documentos ou recursos designados pelos URLs e exibe cada applet referenciado pelos documentos em sua própria janela. Nota: se os documentos referidos pelos URLs não fizerem referência a nenhum applet com a tag OBJECT, EMBED ou APPLET, o appletviewer não fará nada. Para obter detalhes sobre as tags HTML suportadas pelo appletviewer, consulte Tags do AppletViewer.
Nota: O appletviewer é destinado apenas para fins de desenvolvimento.
Source appletviewer - O Java Applet Viewer
Em alternativa, leia o Oracle White Paper (pdf) Migrando de Java Applets para conectar tecnologias Java gratuitas , que recomenda o Java Web Start:
O Java Web Start está incluído no Oracle JRE desde 2001 e é iniciado automaticamente quando um aplicativo Java usando a tecnologia Java Web Start é baixado pela primeira vez. A conversão de um applet para um aplicativo Java Web Start fornece a capacidade de iniciar e atualizar o aplicativo resultante sem depender de um navegador da web.
Consulte O que é o Java Web Start e como ele é lançado? Para maiores informações.
Observe que os Java Applets e o Java Web Start foram completamente removidos no Java SE 11 (versão setembro de 2018). A partir dessa versão, não há maneira (suportada) de executar Applets ou aplicativos Web Start.