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Eu já fiz isso antes e o processo é bem direto.
Executei um servidor da web em uma conta dial-up que precisava desconectar e alternar IPs a cada 12 horas para estar em conformidade com os Termos de Serviço do ISP da época. Assumirei que, no seu caso, você não precisa se preocupar com a lógica para manter a coisa discada, então vou pular para a próxima parte.
a primeira coisa que você precisa fazer é criar um nome de domínio devidamente qualificado e resolvível que possa ser resolvido na internet. Você pode fazer isso se executar o seu próprio servidor DNS ou usar um serviço gratuito como o DynDNS para criar um nome estático, mas resolvível, que será usado para acessar o servidor da web.
Depois de selecionar seu nome de domínio e ter uma entrada DNS válida para resolvê-lo, o próximo passo é instalar o serviço de atualização do DynDNS no servidor da web, que atualizará sua entrada DNS dinamicamente quando o seu IP for alterado.
O próximo passo é criar seu servidor da web. Eu usei o IIS e o Apache com êxito neste cenário. Qualquer servidor que você usa é uma questão de preferência pessoal.
Depois de tudo concluído, você precisará se certificar de que o seu roteador / firewall esteja configurado para ser encaminhado para o servidor da Web dentro da sua rede. Eu recomendo o encaminhamento da porta 80, que tornará o site acessível a todos que digitarem o FQDN no navegador. Se você deseja manter este servidor privado, considere colocar o servidor da web em outra porta.
Eu acho que você está procurando um serviço DNS dinâmico. Existem vários, aqui está um exemplo: No-IP
Você precisará criar uma conta e, em seguida, ter um software em execução no seu computador que atualizará o seu IP no servidor deles.
Depois, haverá um endereço como nomedeusuario.no-ip.org, nomedeusuario.myftp.org, etc., que apontará para o seu computador.
Outra possibilidade: se você deseja hospedar um site casual pequeno e deseja algo simples de configurar, use o Opera Unite . Diretamente do Opera, ele permite que você hospede um servidor da web (ou diretamente um servidor de arquivos / fotos) e cuida do próprio DNS dinâmico.
No entanto, lembre-se de que esta é uma solução para um site pessoal e "volátil" e que você gostaria de mostrar aos amigos, sem ter o online sempre.
O serviço "Unite" do Opera ainda está em beta no momento (embora já esteja estável).
Unite
(siga o link na minha resposta para outra resposta além disso). Não é muito estável. Eu ainda sugeriria DynDNS
se você pretender deixar o servidor da Web sem assistência (por enquanto).
Você está procurando DynDNS ?
Marque Obtendo meu endereço IP?
Como mencionado anteriormente, o serviço DynDNS atualizará um servidor de nomes (onde www.example.com é traduzido para 127.123.234.10 ou o que for) periodicamente.
Eu só queria acrescentar que alguns roteadores de rede possuem esse recurso, como a maioria dos roteadores Linksys. Dessa forma, você nem precisa de software em execução no computador.
Eu uso o freedns.afraid.org para o mesmo propósito que o DynDNS e não me custa nada, e possui um script de atualização que eu executo no meu servidor linux. Eu uso o StartSSL para gerar um certificado válido também.