Respostas:
"Depende". Isso depende do software que eles usam e de como é configurado.
Em suma ... sim. Eles podem registrar tudo o que você faz.
A resposta mais longa é ... depende em grande parte do tipo de "hospedagem compartilhada" a que você está se referindo. Se você tiver apenas acesso FTP e sem acesso ssh (sem contar o SFTP), um simples toque nos logs ftp mostrará quem fez o quê e com que IP quando. A maioria dos grandes fornecedores registra essas coisas muito fortemente devido às implicações legais que podem voltar a elas. (ou seja, se alguma agência policial rastreia o conteúdo de um molestador de crianças até um provedor ... ele deve poder fornecer dados sobre o cliente que o postou lá e quando) Se você reservar uma instância de servidor virtual ou "VPS" , e sua instância virtual estiver executando um servidor FTP, os logs serão seus para armazenar ou não armazenar. Isso ainda não impediria o provedor de registrar o tráfego FTP ... como o FTP é feito em texto não criptografado.
Agora ... o outro lado desta moeda é ... tempo ou não, alguém realmente quer rastrear quem excluiu / enviou / modificou esse conteúdo e a que extensão pode ir dentro dos limites de um mandado ou o tempo / $ $$ necessário olhar, são grandes questões.
Se houver uma investigação ativa em andamento e você estiver pensando em adulterar evidências, você realmente deve saber que, mesmo que não tenha feito nada de errado, adulterar evidências faz com que você pareça culpado mais do que qualquer outra coisa.