Respostas:
Há um sinalizador -o que indica que apenas a subseção correspondente da linha deve ser impressa.
Use isso em conjunto com wc -l:
grep -o "part of line" | wc -l
o homem grep também explica.
Como alternativa às outras respostas, usando apenas grep:
grep -o "seach pattern" somefile.txt | grep -c ""
O -o no primeiro grep gera cada partida, e apenas a partida - não a linha inteira (a menos que a linha inteira seja a partida, é claro). O -c no segundo grep os conta.
São mais alguns caracteres para digitar (como 4 ou 5), mas acho mais fácil lembrar.