Isso soa muito semelhante a uma experiência que tive recentemente, em que uma porta SATA ficou ruim e tirou minha placa de interface HDD no processo.
Eu recomendo primeiro que você pare de tentar inicializar o computador com a unidade danificada no local. O SATA é uma tecnologia de troca a quente e não exige que a unidade seja conectada no momento da inicialização para ser detectada. Esta é uma das razões pelas quais o SATA é melhor que as unidades de fita IDE antigas. Dito isto, você pode precisar ir para o BIOS em sua placa-mãe e habilitar hot-swap em suas portas SATA, como alguns vêm com esta função desabilitada (meu ASRock mobo veio com ele habilitado, pelo meu ASUS ROG placa não).
A partir daí, conecte um cabo SATA que você está certo de que é funcional (como os que podem ficar ruins também) para a placa-mãe. Você pode testar o existente, movendo-o para outra unidade e ver se ocorre um problema semelhante.
Inicialize a máquina apenas com energia conectada à unidade. Quando a máquina estiver em execução e inicializada no SO (para contornar os riscos do chkdisk do Windows ou potenciais pânicos no kernel do Linux), conecte o cabo na parte traseira da unidade. O sistema operacional deve detectar a unidade, de uma forma ou de outra.
Para progredir, você precisará do Google alguns softwares Free Data Recovery. O DriveDrill recuperará 500 MB de dados antes de comprá-los, e é muito completo e com preço razoável se você precisar de mais, então usei isso. Isso fará a varredura da unidade inteira. O perigo é que a placa de interface pode estar morta, o que faz com que a varredura leia todos os setores da unidade como ruins e irrecuperáveis. Neste ponto, você está tentando ou soldar em uma nova placa de uma unidade idêntica ou obter uma unidade idêntica e trocar os pratos. Trocar discos de disco rígido é o seu último recurso, e se não funcionar ou a unidade tiver danos físicos, você está pronto aqui.
No meu caso, ainda não troquei os discos porque não tenho o drive idêntico, mas é o próximo passo. Felizmente, meu disco era apenas o que estava cheio de emuladores de console antigos e cópias de CDs para jogos que eu possuo no Steam de qualquer maneira. Espero que seus dados também não sejam nada insubstituíveis.