O PuTTY se conecta ao SecureShell.
Sim, provavelmente é o roteador / conexão à Internet.
É raro, mas alguns roteadores de alta classe têm a capacidade de descartar conexões de saída.
Não conheço a Verizon, mas é possível que eles tenham algum tipo de proxy pelo qual você se conecta à Internet e esse proxy não permite a conexão de saída.
Eu tive problema semelhante no trabalho. O proxy de trabalho estava bloqueando a porta 22 (porta padrão para SSH). Alterei para 443, que é a porta HTTPS, e me permitiu conectar-me ao meu servidor. Para fazer essa alteração, é necessário modificar /etc/ssh/sshd_config
e alterar a porta padrão de 22 para 443 e, em seguida, conectar-se a ela. Mas isso exige que você se conecte a um servidor em primeiro lugar, o que é impossível para mim. Ou você pode executar rapidamente a biblioteca mais próxima, modificar o arquivo de configuração SSH para ouvir a porta HTTPS em vez da porta padrão 22 e voltar para casa.
Mas acho que sua melhor aposta é ligar para o suporte ao cliente da Verizon e perguntar sobre isso.