Pelo que sei, o único problema em que você pode entrar é a descarga da bateria do CMOS. Nos sistemas modernos, o CMOS é mantido pelo 5vsb da fonte de energia sempre que o computador é conectado, então a bateria do CMOS é necessária apenas quando a máquina está completamente desconectada. E, claro, a única coisa ruim que acontece quando a bateria do CMOS morre é que você perde as configurações do seu BIOS, que provavelmente são na maior parte todos os padrões de qualquer maneira (você precisará acertar o relógio novamente).
Em sistemas mais antigos, a bateria CMOS era usada sempre que o sistema era desligado (devido à potência AT) e às vezes tinha vida útil muito curta, então o sistema precisava ser ligado com frequência para manter o CMOS carregado (muito assim como um carro precisa ser ligado para carregar a bateria, embora o dreno ocioso em uma bateria CMOS possa matá-lo mais rapidamente do que uma bateria de carro - pense em uma bateria de carro quando você nunca liga as luzes do seu dome). Mas honestamente, não acho que isso seja um problema para o qual você vai se deparar de maneira consequente nos computadores modernos.
Talvez as partes mecânicas possam ser aproveitadas como resultado do não uso (como o rotor do disco rígido ou cabeças), mas eu nunca ouvi falar disso acontecendo e acho que esses dispositivos são cuidadosamente projetados o suficiente para não funcionar.
Então, na verdade, a única razão pela qual posso pensar em iniciar um computador periodicamente é manter as atualizações atualizadas, para que da próxima vez que você quiser usá-lo, não haja mais de 100 atualizações para instalar.