Respostas:
Se você definir a ação "Ignorar caixa de entrada" para um filtro, a mensagem não será enviada ao seu iPhone (eu tenho essa configuração pelo mesmo motivo). Eu uso o recurso Labs de várias caixas de entrada com um conjunto de painéis para mostrar todos os não lidos (is: unread) para que eu possa ver rapidamente o que não foi lido sem ter que abrir o rótulo.
Não.
A única solução real seria criar um filtro que encaminha automaticamente certos e-mails para outro endereço de e-mail (digamos, bobdole.iphone@gmail.com) e definir bobdole.iphone@gmail.com como a conta de e-mail no seu iPhone. Você precisaria criar alguns filtros bem interessantes ...