De acordo com o RFC 821, o cliente de email deve enviar seu nome de domínio no comando Helo / EHLO. Portanto, a resposta é sim, o Thunderbird envia o IP em cabeçalhos de email.
Mas esse comportamento é reversível, basta criar o parâmetro mail.smtpserver.default.hello_argument com um valor de sequência example.com através do Editor de configuração do Thinderbird (Preferências> Avançado> Geral). Você pode atribuir qualquer coisa em vez de example.com, é claro.
É preciso observar que, na verdade, isso não ocultará seu IP do servidor de email, esse truque apenas remove essas informações do cabeçalho. Para o anonimato real, você deve usar algum tipo de software de anonimato, como o Tor.