Respostas:
Depende exatamente de como o executável é atualizado. Se o mesmo arquivo for aberto e partes dele forem alteradas, coisas ruins acontecerão. Se ele for removido, o arquivo será removido da estrutura de diretórios do sistema de arquivos, mas na verdade não será desvinculado (ou seja, excluído) até que o último processo que o abra tenha sido executado. Portanto, se o executável for removido e um novo com o mesmo nome escrito em seu lugar, o antigo deverá continuar funcionando.
Eles vão continuar. Talvez caia horrivelmente se tentarem acessar a si mesmos e receber algo totalmente errado. Eu não faria isso a menos que eu tivesse que :)
Entendo que o kernel do Linux tenha um componente chamado loader que abre o próprio arquivo executável, contendo a imagem, durante o processo de carregamento / vinculação e, uma vez concluído o vínculo com as bibliotecas etc., o loader fecha o arquivo. Assim, esse processo acontece e é concluído quando o kernel realmente inicia o processo.
Não tenho certeza se o executável original no disco precisa ser referenciado se o executável mais tarde tentar importar bibliotecas externas.
Eu diria, e tem sido minha experiência que, se você excluir o executável no disco, o executável carregado na memória não será afetado. Da mesma forma, se o arquivo executável for substituído por uma versão mais recente, as atualmente em execução não serão "automaticamente" atualizadas, a menos que sejam interrompidas e reiniciadas.
Tive problemas com um controlador RAID que fez com que todo o disco em que o diretório raiz e outras partições estivesse montado agisse repentinamente como se estivesse desconectado. Não foi possível carregar novos programas, mas os da memória estavam funcionando bem até que precisassem de arquivos do disco.