Como cidadão de Varsóvia, nunca carrego dinheiro por aí (e a maioria dos jovens não), pois os pagamentos com cartão são aceitos em quase todos os lugares (desde que você use Visa ou Mastercard), mesmo em pequenas lojas, especialmente nas partes centrais de Varsóvia (que é o que você provavelmente verá como turista). Eu visito restaurantes regularmente, e não consegui pagar com cartão como aconteceu uma vez nos últimos 5 anos, e isso foi porque o terminal estava quebrado. Conheço uma cadeia de padarias que ainda exige dinheiro, mas, caso contrário, isso nunca foi um problema. Por outro lado, há situações em que é um enorme inconveniente usar dinheiro (por exemplo, as máquinas de venda de bilhetes presentes em praticamente todos os ônibus aceitam apenas pagamentos com cartão, portanto, se você tivesse apenas dinheiro, teria que comprar o bilhete no motorista).
Quantidades mínimas são proibidas, embora eu já tenha visto isso algumas vezes (geralmente 10 PLN em lojas, não acontece em restaurantes) - isso está se tornando muito mais raro do que costumava (a última vez que vi isso foi há dois anos). De acordo com o meu banco, se eu vir alguém exigindo um valor mínimo, devo solicitar o ID do terminal (que eles são obrigados a divulgar) e relatar a situação - portanto, o risco aqui é bastante baixo.
Quanto aos museus, eles também quase sempre aceitam pagamentos com cartão de crédito, principalmente os principais.
Se você quer estar do lado seguro, receba de 50 a 100 PLN em dinheiro - provavelmente você nunca precisará disso.
Atualização: a partir de novembro de 2018, a compra de bilhetes em um ônibus em dinheiro não é mais possível, e a cadeia de padarias que era em dinheiro agora também aceita cartões.