A República Tcheca é um nome curto e preferido em inglês, mas a República Tcheca ainda é o nome completo oficial do país.
Nome abreviado do país "Česko" / "Czechia" a ser inserido nas bases de dados da ONU
O nome "República Tcheca" não substituirá o nome oficial completo da República Tcheca. É simplesmente a versão em inglês do nome abreviado do país ("Česko") e, como tal, será inserida nas bases de dados da ONU de nomes de países. De fato, “Česko” é oficialmente o nome abreviado da República Tcheca desde 1993. Faz parte de um padrão nacional estabelecido naquele ano pelo Escritório Tcheco de Inspeção, Mapeamento e Cadastro e aprovado (do ponto de vista linguístico) pela Língua Tcheca. Instituto da Academia de Ciências da República Tcheca.
O nome completo do país “República Tcheca” (“Česká republika”) continuará sendo o nome político oficial do país. "Czechia" será usado apenas como a versão em inglês do nome abreviado do país "Česko". Cabe a cada entidade decidir se deve usar a versão curta (“Česko / República Tcheca”) ou a versão longa (“Česká republika / República Tcheca”).
Em algumas línguas, o nome abreviado da República Tcheca já está bem estabelecido, por exemplo, em francês - la Tchéquie, espanhol - Chequia, alemão - Tschechien.
(A ênfase é minha)
Fonte: Ministério das Relações Exteriores da República Tcheca
Falando sobre a Checoslováquia, o CIA World Factbook afirma que
Em 1 de janeiro de 1993, o país passou por um "divórcio de veludo" não-violento em seus dois componentes nacionais, a República Tcheca e a Eslováquia. A República Tcheca ingressou na Otan em 1999 e na União Européia em 2004. O país mudou seu nome abreviado para República Tcheca em 2016
(A ênfase é minha)
Em seguida, o próprio site da república, em vários gráficos, lista o novo nome abreviado; também há artigos no próprio site que discutem a mudança de nome. Um deles diz
Faz um ano que a palavra República Tcheca, uma versão mais curta do nome República Tcheca, foi inserida no banco de dados da ONU de nomes geográficos de países. Para marcar a ocasião, o departamento geográfico da Faculdade de Ciências de Praga organizou uma conferência especial, avaliando o sucesso do processo de adoção do nome República Tcheca.
Fonte (este artigo é uma leitura obrigatória)
Então este artigo no site oficial detalha o processo também
As principais autoridades da República Tcheca estão reunidas para tentar chegar a um acordo sobre um nome abreviado para a República Tcheca. O pioneiro em inglês parece ser o nome Czechia e que em breve poderá aparecer em todo o lugar.
Então este é muito relevante para alienígenas, para que eles saibam o que dizer
No início deste mês, o Ministério das Relações Exteriores da República Tcheca lançou um vídeo de cinco minutos promovendo a República Tcheca ou, digamos, a República Tcheca. Além de mostrar as realizações do país, o vídeo também visa reforçar a conscientização da versão curta, recentemente aprovada, de seu nome oficial.
Então nós temos essa informação da ONU
Estatísticas da ONU sobre República Tcheca
A Checoslováquia era um membro original das Nações Unidas a partir de 24 de outubro de 1945. Em uma carta de 10 de dezembro de 1992, seu Representante Permanente informou o Secretário-Geral de que a República Federal Checa e Eslovaca deixaria de existir em 31 de dezembro de 1992 e que a República Tcheca e a República Eslovaca, como Estados sucessores, solicitaria a adesão às Nações Unidas. Após o recebimento da solicitação, o Conselho de Segurança, em 8 de janeiro de 1993, recomendou à Assembléia Geral que a República Tcheca e a República Eslovaca fossem admitidas como membros das Nações Unidas. A República Checa e a República Eslovaca foram assim admitidas em 19 de janeiro desse ano como Estados-Membros.
Em 17 de maio de 2016, a Missão Permanente da República Tcheca junto às Nações Unidas informou a ONU de que o nome abreviado a ser usado para o país é República Tcheca.
(A ênfase é minha)
TL; DR
Podemos usar qualquer um dos nomes, mas seu governo prefere / promove o uso do menor em inglês.