Você só pode recusar se o cartão de embarque estiver sendo lido eletronicamente. Se o caixa precisar visualizá-lo visualmente, o GDPR não se aplicará. Você ainda pode se recusar a mostrá-lo, mas o caixa também pode se recusar a vender o item.
Se o sistema não salvar seu nome (que é a única informação pessoal em um cartão de embarque - observe, o número de passageiro frequente é anonimizado e não está incluído no GDPR), acredito que você também não está sob as regras do GDPR.
Não tenho certeza se isso realmente vale a ira de todos os outros atrás da linha no balcão tentando chegar ao portão.
Qual é o objetivo aqui? Privacidade? Se você pagar usando seu cartão, eles já terão mais informações sobre você do que no cartão de embarque.
Ou posso pelo menos exigir uma explicação de como meus dados pessoais são armazenados do lojista?
Provavelmente, eles indicarão seus termos e condições, um site ou outra brochura impressa. Duvido que o caixa ou o gerente esteja autorizado a falar sobre política e procedimentos corporativos. Mesmo se forem, provavelmente o puxarão de lado para falar com você.
Então, novamente, não tenho certeza se isso é apenas uma pergunta hipotética ou algo prático. Quero dizer, realmente - não é o ponto de gastar demais em algo, chegar ao portão e depois se arrepender de todo o vôo? :-)