Não posso mais usar meu BRP porque é inválido. Posso viajar usando meu passaporte americano sem problemas?
Como cidadão do Reino Unido, você tem o direito irrestrito de entrar no Reino Unido. O problema será provar isso corretamente se você precisar invocá-lo explicitamente. Em outras palavras, você pode demorar um pouco para entrar no Reino Unido ao retornar.
Ao entrar no Reino Unido, você pode mostrar seu passaporte nos EUA e não falar nada sobre sua cidadania no Reino Unido, ou pode mencionar que é cidadão do Reino Unido e mostrar qualquer evidência que tenha desse fato, como o certificado recebido em sua cerimônia de cidadania.
Se você fizer o primeiro, eles poderão ver que você é um cidadão do Reino Unido e perguntar sobre isso. Ou, se eles não perceberem que você é um cidadão do Reino Unido e também decidirem que você se parece com alguém que pode tentar violar a lei de imigração, eles podem decidir recusar a entrada. Nesse ponto, você teria que reivindicar a cidadania do Reino Unido para evitar ser removido.
Portanto, provavelmente é melhor começar mostrando seu passaporte dos EUA e certificado de cidadania do Reino Unido e explicar (se necessário) que você não teve tempo de obter um passaporte do Reino Unido antes da sua viagem.
Meu pai acredita que eles só me deixarão ficar no máximo 90 dias.
Isso está incorreto, mesmo se você usar o passaporte dos EUA para entrar sem se identificar como cidadão do Reino Unido, e mesmo se você receber um selo padrão de "licença para entrar" por seis meses, observando que o emprego e o recurso a fundos públicos são proibidos. Depois de assistir à cerimônia e receber o certificado, você é cidadão do Reino Unido e sua presença no Reino Unido não pode ser restringida apenas porque você entrou com o passaporte de um país diferente. Qualquer selo que pretenda impor tal restrição não terá efeito.
Can I travel just using my US passport without an issue? As in, will the UK let me back in to continue study and generally living here?
Como eles podem impedi-lo de entrar novamente? Você é um cidadão britânico, tenha um passaporte ou não, eles não podem recusá-lo quando você chegar ao aeroporto.