Respostas:
A maneira mais barata é provavelmente compartilhar carona ("covoiturage") ou pegar carona. Mas essas opções exigem um pouco de sorte e flexibilidade.
Se você quiser algo mais previsível, pegue o avião ou o trem.
Para os voos, use um mecanismo como o Kayak ou o Matrix Airfare Search para verificar as possibilidades. Para o início de setembro, encontrei voos de ida por + - 110 EUR (Germanwings, Air Berlin, Iberia).
Para os trens, você pode usar o Voyages SNCF . Por exemplo, encontrei um bilhete de 126 euros por trem noturno via Paris. Isso tem a vantagem de salvar uma acomodação. O preço inclui o passeio mais a cama. Em um trem diurno, você terá que prever mais ou menos o mesmo orçamento.
Você também pode optar pelo transporte multimodal. A Easyjet voa de Nice para Basileia e Genebra, de onde você pode facilmente prosseguir de trem para Zurique. De Basileia, é uma hora e custa 32 CHF. De Genebra, é um pouco menos de 3 horas e custará 84 francos suíços. O preço do voo depende da data exata da viagem e dos extras que você deseja adquirir.
A maneira mais barata é provavelmente um ônibus. No entanto, compare preços com voos. Às vezes, voos baratos estão disponíveis se você reservar com antecedência suficiente. Os ônibus também são mais baratos quando você reserva com antecedência, mas eles tendem a limitar muito mais.
Rome2rio é conveniente para obter uma revisão das diferentes possibilidades. Verifique os preços reais iniciando o processo de reserva, pois as faixas de preço nem sempre são muito confiáveis.
Pelo menos no verão de 2016, a Eurolines opera um ônibus diário de Zurique para Nice, saindo de manhã cedo e chegando no meio da tarde. Há também uma conexão via Turim, mas isso requer passar uma noite em Turim.
Zurique para Nice não é particularmente conveniente. A rota reta atravessaria a montanha e não há muitas pessoas fazendo essa rota. Se você estiver em turnê pelo local, seria um bom momento para uma parada em Turim ou Milão.