A resposta oficial está no Caminho para a Rússia , mas vou resumir para a posteridade.
- Quem quer que você fique, seja em hotel ou apartamento, deve se registrar.
- Eles podem cuidar do registro em qualquer delegacia ou posto de correios, você não precisa estar presente.
- Quando terminar, eles receberão um pedaço de papel para você que confirma o registro e tudo está bem.
Se você não se registrar e for parado pela polícia, e já faz mais de sete dias úteis desde que você chegou à Rússia, você será multado (de 50 a 100 euros). Em teoria, você pode até ser deportado e incluído na lista negra por retornar por 5 anos, mas isso é muito improvável.
No seu caso, eu entraria em contato com quem está alugando o apartamento e garantiria que eles resolvessem o problema, a palavra mágica é propiska (registro). É do interesse deles fazer isso também, pois eles também podem ser multados ainda mais por ter estrangeiros não registrados hospedados com eles.