Em geral, a resposta será que não, isso não causará problemas. Os oficiais de imigração são treinados para procurar recursos além daqueles que podem ser cobertos por cabelos; portanto, embora possam precisar olhar um pouco mais de perto para determinar se a foto corresponde, eles ainda poderão confirmar sua identidade.
No entanto, há um lugar em que isso pode causar problemas se você tiver um "e-Passport" (às vezes chamado de "passaporte biométrico"), que contém uma cópia da sua foto no chip contido no passaporte. Em alguns países, os passaportes eletrônicos permitem o uso de dispositivos de imigração automatizados, como o SmartGate na Austrália ou o Global Entry nos EUA.
Dependendo do tamanho da barba, é muito provável que o dispositivo automatizado não consiga confirmar se a foto no passaporte corresponde à sua imagem atual e provavelmente o enviará a um humano para confirmar a correspondência de identidade. Além de ser um pouco mais lento do que seguir o caminho automatizado, isso não causará problemas - apenas poderá demorar um pouco, dependendo do tempo que você precisar esperar na fila para ver um oficial de imigração. Na pior das hipóteses, não deve ser mais lento do que não usar o sistema automatizado.