Tendo trabalhado com a polícia de Londres há algum tempo, posso lhe dizer que não, você não pode. Até alguns anos atrás, isso era possível com um pedido antecipado, no entanto, houve um incidente em que o civil durante o percurso ficou ferido. Para resumir a longa história, a prática foi interrompida imediatamente.
Além disso, mesmo os estudantes policiais (ou seja, já aceitos na polícia, mas ainda em treinamento) normalmente não podem andar juntos, embora essa regra seja um pouco mais fácil de distorcer se você conhece as pessoas certas.
Um civil pode fazer uma carona em um veículo da polícia, como observou @avid, por um de dois motivos: se você for preso (indo para a delegacia) ou se for vítima de um crime (dirigir tentando identificar o autor). Também existem circunstâncias excepcionais em que você pode pegar uma carona em um veículo da polícia do ponto A ao ponto B - mas nunca acompanha os policiais em suas tarefas regulares.
A única exceção que conheço é a mídia / jornalistas trabalhando em material sobre a polícia - mas as formalidades a serem cumpridas são piores do que você pode imaginar.