O limite da chave é de três meses. Não tem nada a ver com Schengen, mas faz parte do direito geral da UE. Como tal, também se aplica fora do espaço Schengen (ou seja, Reino Unido, Irlanda, Romênia, Bulgária, Chipre, Croácia - e à Suíça por meio de um contrato distinto que foi implementado antes mesmo de o país se tornar parte do espaço Schengen).
Mesmo em países onde não há formalidade especial para se registrar, estadias superiores a 3 meses não seguem as mesmas regras. Você tem um direito muito forte de viajar para o turismo e de permanecer por menos de três meses, mas não o direito incondicional de permanecer em outro lugar na UE por mais de três meses (consulte esta resposta a outra pergunta para a base jurídica dessa distinção).
Na maioria dos lugares, você não precisa fazer nada para estadias curtas, mas mesmo que isso lhe permita o direito de visitar outros países, a legislação da UE não proíbe estritamente os requisitos para relatar sua presença, mesmo que você não pretenda se tornar um residente. O Europa.eu fornece informações práticas sobre isso, mas mesmo este site (com base nas informações enviadas pelos próprios estados membros) é incompleto e, às vezes, vago, por isso é difícil saber exatamente quais são os requisitos de país para país.
Observe também que a residência geralmente é definida pela intenção e por outros fatores, como a localização do "centro de seus interesses" (renda, propriedade, família ...). Portanto, a residência não começa necessariamente após os primeiros três meses, nem depende apenas da duração da estadia.
Por exemplo, se você vende sua casa na França, muda suas coisas para a Alemanha e aluga um apartamento por lá, é necessário se registrar dentro de uma semana ou duas antes de se mudar para sua nova casa, mesmo que tenha o cuidado de nunca gastar mais do que três meses no país. Por outro lado, se você tem uma casa na França e fica em um hotel na Alemanha por dois meses, provavelmente não será considerado um residente.
Se você fizesse o mesmo da maneira inversa (ou seja, se mudasse para a França), não seria necessário se registrar (porque isso não é necessário na França em primeiro lugar), mas você ainda seria considerado residente a partir da data em que realmente entrou no país (e poderia, por exemplo, pagar impostos com base nisso).