Você deve solicitar o ESTA, porque o visto que você possui não é um visto B-1 ou B-2. Se você viajasse para os Estados Unidos para fins de turismo ou negócios não relacionados ao visto que possui agora, seria necessário solicitar o ESTA ou o visto B.
(No entanto, não tenho certeza do que acontecerá se você puder fazer o check-in usando o ESTA e depois entrar com o visto.)
Por exemplo, em https://travel.state.gov/content/visas/en/employment/treaty.html , você pode ver que, para um visto E-2 ", você deve vir aos Estados Unidos para desenvolver e direcionar o empreendimento."
Veja também em https://www.cbp.gov/travel/international-visitors/frequently-asked-questions-about-visa-waiver-program-vwp-and-electronic-system-travel :
P: E se um viajante tiver um visto válido e atual?
R: Os indivíduos que possuem um visto válido ainda poderão viajar para os Estados Unidos com esse visto para a finalidade para a qual foram emitidos. Indivíduos que viajam com vistos válidos não precisam solicitar uma autorização ESTA.
Isso implica que você pode solicitar que o ESTA viaje para os Estados Unidos com uma finalidade diferente daquela para a qual seu visto válido foi emitido.
Você também manifesta preocupação com a possibilidade de ter problemas ao entrar nos Estados Unidos, uma vez que você foi indicado na lista de passageiros da transportadora como um viajante VWP, mas estará apresentando um visto na entrada. Duvido que você tenha problemas por causa disso. Eu posso pensar em duas razões pelas quais você pode:
- Candidatura ao ESTA sem intenção de usar o VWP
O título 8 do Código de Regulamentos Federais, seção 217.5 (a), diz
Todo estrangeiro não imigrante que pretenda viajar de avião ou por mar para os Estados Unidos no âmbito do Programa de Isenção de Vistos (VWP) deve, dentro do prazo especificado no parágrafo (b) desta seção, receber uma autorização de viagem ...
Portanto, você pode ter problemas porque, na verdade, não pretende viajar para os EUA sob o VWP. Mas na verdade não diz que aqueles que não pretendem viajar não podem receber a autorização. Além disso, o CBP observa que as pessoas podem solicitar o ESTA, mesmo que não tenham planos de viagem definidos .
- Fazer o check-in no ESTA e entrar com um visto
Aqui, só posso especular, mas acho que a transportadora tem mais chances de ter problemas por isso do que você. Você poderia abordar a equipe de terra no aeroporto para corrigir seu registro com informações sobre o seu visto, mas isso anularia seu aparente objetivo de entrar no avião com rapidez e facilidade.