Tanto quanto posso ver, as outras respostas não são específicas de Budapeste.
No entanto, existem respostas específicas de Budapeste, mas essas geralmente não possuem páginas em inglês. Por exemplo, http://www.lakas-orakra-budapest.hu/buvohelyarak-budapesten.html é especializada em alugar apartamentos no centro por hora, eles mencionam que são usados como espaços de reunião para casais, mas também mencionam trânsito 13-24 horas de passageiros custa 16500 HUF, 53 EUR, para duas pessoas. Isso é muito razoável para um apartamento, eu diria. Este lugar pede que metade seja transferida por fio primeiro quando alguém os usa na primeira ocasião. Transferwise é seu amigo por isso.
Este http://buvohely-kispest.com/arlista.html anuncia um lugar no distrito XIX que fica bem perto do aeroporto e diz que 24 horas é 13.000 HUF.
Este também fica bem perto do aeroporto http://buvohelyterkep.hu/budapest_budapest-xviii-kerulet_gloriett-buvohely_buvohelyterkep-299.html diz que 24 horas são 14.000 HUF. Enquanto o edifício tanto para este quanto para o anterior é ... ah ... digamos mais autêntico do que você jamais desejou ver (edifícios gigantes, monótonos e pré-fabricados de concreto da era socialista - eu garanto que a maioria dos turistas nunca veja um destes!) ... os apartamentos são considerados climatizados, o que os torna suportáveis (caso contrário, no verão, eles se tornam fornos e o aquecimento central no inverno também os torna muito quentes - eu cresci em edifícios como estes). Este site é realmente um mecanismo de busca para esse tipo de apartamento.
O Google encontra muitos deles quando entro em budapeste, mas não tenho experiência direta com eles e, considerando que o uso primário deles é bastante desonesto, não ficaria surpreso se eles também fossem desonestos. E há a barreira do idioma. Mas, é isso que está em oferta. Entrei em contato com alguns lugares, hotéis e casas de hóspedes (panzió) voltados principalmente para o aeroporto, e eles se recusam a ceder no horário fixo de entrada e saída, então eu realmente duvido que haja mais alguma coisa além de apartamentos, seja por um desses "esconderijos por alguns" horas "sites ou airbnb.