Se você tem problemas ou não, depende de onde você está e que tipo de loja você gosta de ir.
No centro de Londres, onde moro e trabalho, não há problema, ele é aceito tão amplamente quanto qualquer outro cartão. Acho que apenas meu barbeiro e açougueiro não usam Amex, mas ambos preferem dinheiro de qualquer maneira. Na minha rotina diária de bares, supermercados, restaurantes, cafeterias e o clube de ioga local que frequento, acho que todos ficam muito felizes em aceitar a Amex.
Quando visito meus pais que moram em uma vila à beira-mar, um restaurante e um pub (uma cadeia) aceitam o Amex, as outras lojas, pubs e restaurantes não. As cadeias de supermercados de todo o país aceitam a Amex, exceto os "descontos", como Aldi e Lidl.
Quando eu morava em York, uma cidade no norte da Inglaterra, eram essencialmente apenas restaurantes que aceitavam amex, exceto as lojas da rede.
Fora dos principais centros das cidades, você tende a achar que a aceitação da Amex é reservada a lojas e restaurantes de alta renda ou a cadeias nacionais que têm poder de barganha significativo.
Aconselho que você traga algum dinheiro se você não tiver acesso a um cartão Visa ou MasterCard.