Depende do país de onde você é e da sua situação exata, mas algumas idéias vêm à mente:
Uma carta (possivelmente um juramento juramentado) da avó informando que seu amigo é o único cuidador. Se a avó não estiver suficientemente bem para entender / assinar documentos, pode haver alguma documentação nesse sentido, nomeando seu amigo como "tomador de decisão substituto" ou algo assim (detalhes varia de acordo com o país).
Uma carta (possivelmente um juramento firmado em cartório) de um médico que cuida da avó que conhece a situação (por exemplo, que o médico sempre vê seu amigo levando a avó para visitas e que ele paga por eles)
Resumo da declaração de imposto de renda de uma autoridade tributária, na qual seu amigo obtém benefícios fiscais por ter a avó como dependente. Possivelmente também os documentos fiscais da avó que não mostrem renda própria.
Recibos de compras pagas pelo seu amigo que são claramente destinadas à avó
De qualquer forma, mesmo que você não encontre nada oficial, não deixe em branco. Seja criativo - inclua declarações de algumas pessoas que conhecem a situação etc.
Além disso, tente idealmente provar não apenas o lado financeiro das coisas, mas também o compromisso de tempo que seu amigo está dedicando a cuidar da avó. Sei que é mais difícil provar, mas vale a pena tentar (compromissos financeiros podem ser cumpridos enviando dinheiro de outro país, mas compromissos de tempo não podem, por isso é mais valioso mostrar um compromisso de tempo para fins de imigração).