Respostas:
Você pode obter algum tipo de log ouvindo .dropbox / iface_socket. Onde .dropbox é a pasta padrão do daemon do dropbox (não o cliente). iface_socket é o que o cliente (código aberto) e o servidor (código fechado) usam para se comunicar. Note que eu estou falando sobre o cliente local (cli, nautilus-plugin, etc) e o servidor local, não aquele que é executado na rede pelo Dropbox.
Você pode encontrar um script ruby para ler este soquete aqui , mas não pude verificar.
Não tenho certeza se isso fornecerá as informações que você deseja, mas é o melhor que consigo pensar em fazer uma solicitação de recurso aos desenvolvedores do dropbox.
Me deparei com este post procurando uma alternativa para mostrar os arquivos de log do dropbox. Sei que não é o mesmo, mas acredito que pode ser útil para solucionar problemas. Usando o script fornecido pelo dropbox, você pode criar um script iniciando no seu /etc/rc.local redirecionando a saída para um arquivo de log específico com o seguinte comando:
nohup find $HOME/Dropbox -type f -exec dropbox filestatus -a '{}' \; > /var/log/dropbox.log 2>&1
Agora eu entendi a pergunta corretamente, acho que você deveria usar o rsync para sincronizar (e produzir arquivos de log adequados) em vez do Dropbox. É incomum usar o dropbox em um servidor ...