Começando com o Oneiric, a versão do Thunderbird fornecida com o Ubuntu possui um complemento que lida com a integração no menu de mensagens. Esse complemento chamado "Menu de mensagens e integração com o Unitiy Launcher" fornece algumas opções adicionais na guia Geral nas configurações do Thunderbird (não tenho certeza sobre a redação, como estou traduzindo do alemão aqui;)). Perto das opções para reproduzir um arquivo de som quando um novo e-mail chegar, você pode decidir se a notificação da mensagem deve ser acesa para novos e-mails e fazer isso para todas as pastas ou apenas para a caixa de entrada. Não conheço uma solução para escolher um conjunto personalizado de pastas, mas talvez exista um complemento disponível para isso.
TL; DR
Editar> Preferências> Quando novas mensagens chegarem> marque a caixa de seleção "Mostrar no menu de mensagens"> mude o rádio de "Para mensagens em todas as pastas" para "Somente para mensagens na minha pasta Caixa de entrada"