Eu descobri o problema e encontrei a solução (veja abaixo).
O problema
Um diretório do Windows precisa existir:
C:\Users\USERNAME\appdata\LocalLow\Sun
Na sua caixa, você tem a seguinte estrutura de diretórios, provavelmente:
/home/USERNAME/.wine/drive_c/users/USERNAME/
* Onde USERNAME é seu nome de usuário real
A solução:
Crie os subdiretórios
(Método de apontar e clicar)
Abrir pasta pessoal
Abrir .wine
Abrir drive_c
Abrir usuários
Criar pasta appdata
Abrir appdata
Criar pasta LocalLow
Abrir LocalLow
Criar pasta Sun
(Console / Terminal)
cd /home/`whoami`/.wine/drive_c/users/`whoami`/
mkdir -p appdata/LocalLow/Sun
* NOTA: appdata / LocalLow / Sun IS diferencia maiúsculas de minúsculas, digite-o exatamente como é mostrado
Clique duas vezes no executável JRE (usei 32 bits, mas acredito que 64 bits também funciona. Verifique o site do winehq e sua versão do Ubuntu para ter certeza)
Instale fora :)
Importância / Relevância
Como existem alguns programas específicos do Windows, e apenas parcialmente usam Java, descobri que ainda precisava de uma solução para esse problema. Portanto, forneci o procedimento mencionado acima para resolver o problema.
Referência