Respostas:
Executar coisas gráficas como root é uma péssima idéia para segurança, mas vou assumir que você sabe disso e que esgotou outros métodos. Você precisa fazer duas coisas:
Permita que o usuário execute o comando sudosem senha, editando /etc/sudoers. Você pode encontrar uma breve explicação aqui, mas está procurando algo parecido com isto:
username ALL=(ALL:ALL) NOPASSWD:/path/to/command
Obviamente substituir o usernamee /path/to/commandcom valores reais, vara que em lá e depois tentar sudo -k /path/to/command(os -kmeios apenas ele vai pedir sua senha se não conheço nenhum melhor - não vai perguntar se a sua sudoers editar estava correto).
Inicie automaticamente seu aplicativo através dos "Aplicativos de inicialização" padrão, chamando sudo /path/to/command
E é isso.
Você pode tentar criar um ativador de aplicativos personalizado ( .desktoparquivo) com gksudo <command>o comando as para executar e adicionar esse lançador às configurações de início automático ( System - Settings - Autostartou Startup). Outra maneira seria colocar o .desktoparquivo diretamente em ~/.config/autostartou (para todos os usuários) /etc/xdg/autostart.